Prove diretamente que se
e
são sotuções de uma das equações abaixo então qualquer combinação linear de
e
é solução dessa mesma equação:
4.
4.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial parcial
e diz que
e
são soluções dessa equação. Ou seja, para
vale
e para
vale
A tarefa é provar diretamente que qualquer combinação linear de
e
, isto é, qualquer função da forma
com
constantes, também é solução da mesma equação.
Passo 2
Lembra rápida sobre linearidade de derivadas (mini-aula): a operação de derivar é linear. Isso significa que, para quaisquer funções
e
suficientemente suaves e quaisquer constantes
, valem as igualdades
e o mesmo para derivadas em
:
Essas propriedades decorrem diretamente da definição de derivada e da aditividade e homogeneidade da derivada. É exatamente essa linearidade que permite a propriedade de superposição em equações diferenciais lineares.
Passo 3
Vamos aplicar essas propriedades ao candidato
. Primeiro calculemos as derivadas que aparecem na equação:
Passo 4
Substituímos
,
e
na expressão da equação diferencial (no lado esquerdo menos o termo do lado direito), isto é, consideramos
Usando as igualdades do passo anterior:
Passo 5
Agora fatoramos
e
para agrupar os termos relativos a
e a
:
Pelo enunciado, sabemos que
e
satisfazem a equação, isto é,
Substituindo essas igualdades na expressão acima obtemos
Passo 6
Concluímos que
ou seja,
satisfaz a mesma equação diferencial. Isso prova diretamente que qualquer combinação linear de soluções é também solução (princípio de superposição para esta equação linear).
Resposta
Sejam
e
soluções de
. Então, para quaisquer constantes
, a função
também é solução dessa equação.