Prove diretamente que se boldsymbol{u} e v são sotuções de uma das equações abaixo então qualquer combinação linear de u e v é solução dessa mesma equação:
4. y u_{x x}+x u_{y}=x y u

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial
y\,u_{x x}+x\,u_{y}=x y\,u
e diz que u e v são soluções dessa equação. Ou seja, para u vale
y\,u_{x x}+x\,u_{y}-x y\,u=0,
e para v vale
y\,v_{x x}+x\,v_{y}-x y\,v=0.
A tarefa é provar diretamente que qualquer combinação linear de u e v, isto é, qualquer função da forma
w=a\,u+b\,v
com a,b constantes, também é solução da mesma equação.

Passo 2

Lembra rápida sobre linearidade de derivadas (mini-aula): a operação de derivar é linear. Isso significa que, para quaisquer funções f e g suficientemente suaves e quaisquer constantes a,b, valem as igualdades
(a f+b g)_{x} = a f_{x} + b g_{x}, \qquad (a f+b g)_{xx} = a f_{xx} + b g_{xx},
e o mesmo para derivadas em y:
(a f+b g)_{y} = a f_{y} + b g_{y}.
Essas propriedades decorrem diretamente da definição de derivada e da aditividade e homogeneidade da derivada. É exatamente essa linearidade que permite a propriedade de superposição em equações diferenciais lineares.

Passo 3

Vamos aplicar essas propriedades ao candidato w=a\,u+b\,v. Primeiro calculemos as derivadas que aparecem na equação:
w_{xx}=(a\,u+b\,v)_{xx}=a\,u_{xx}+b\,v_{xx},
w_{y}=(a\,u+b\,v)_{y}=a\,u_{y}+b\,v_{y}.

Passo 4

Substituímos w, w_{xx} e w_{y} na expressão da equação diferencial (no lado esquerdo menos o termo do lado direito), isto é, consideramos
y\,w_{xx}+x\,w_{y}-x y\,w.
Usando as igualdades do passo anterior:
y\,(a\,u_{xx}+b\,v_{xx})+x\,(a\,u_{y}+b\,v_{y})-x y\,(a\,u+b\,v).

Passo 5

Agora fatoramos a e b para agrupar os termos relativos a u e a v:
a\bigl(y\,u_{xx}+x\,u_{y}-x y\,u\bigr) + b\bigl(y\,v_{xx}+x\,v_{y}-x y\,v\bigr).
Pelo enunciado, sabemos que u e v satisfazem a equação, isto é,
y\,u_{xx}+x\,u_{y}-x y\,u=0 \qquad\text{e}\qquad y\,v_{xx}+x\,v_{y}-x y\,v=0.
Substituindo essas igualdades na expressão acima obtemos
a\cdot 0 + b\cdot 0 = 0.

Passo 6

Concluímos que
y\,w_{xx}+x\,w_{y}-x y\,w=0,
ou seja, w=a\,u+b\,v satisfaz a mesma equação diferencial. Isso prova diretamente que qualquer combinação linear de soluções é também solução (princípio de superposição para esta equação linear).

Resposta

Sejam u e v soluções de y\,u_{xx}+x\,u_{y}=x y\,u. Então, para quaisquer constantes a,b, a função w=a\,u+b\,v também é solução dessa equação.

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