Prove diretamente que se
e
são sotuções de uma das equações abaixo então qualquer combinação linear de
e
é solução dessa mesma equação:
5.
5.
Passo 1
O enunciado nos dá que
e
são soluções da equação
O que se pede: provar diretamente que qualquer combinação linear de
e
,
com constantes
e
, também é solução da mesma equação.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
satisfaz .\n -
satisfaz .\n -
e são constantes (reais, por exemplo).
Passo 2
Definimos a combinação linear que queremos testar:
Objetivo explícito agora: mostrar que
satisfaz
A estratégia é calcular
e
e substituir na expressão acima.
Passo 3
Usamos propriedades básicas de derivação: a derivada (parcial em
) é linear, isto é, para constantes
e funções
,
e aplicando novamente,
Portanto temos as fórmulas explícitas:
Passo 4
Agora substituímos essas derivadas na expressão
e fazemos a álgebra linear, passo a passo:
Passo 5
Usamos agora a hipótese do enunciado:
e
satisfazem a equação dada, ou seja
Substituindo essas igualdades na expressão obtida no passo anterior,
Portanto
satisfaz a mesma equação.
Passo 6
Interpretação e lição rápida: a operação
é um operador linear (combina derivadas e multiplicações por funções de
, operações que preservam linearidade). Para equações homogêneas
a coleção de soluções forma um espaço vetorial: somas e múltiplos escalares de soluções são soluções. Neste exercício demonstramos isso diretamente por substituição.
Resposta
Qualquer combinação linear
(com
constantes) é solução da equação
.