Prove diretamente que se boldsymbol{u} e v são sotuções de uma das equações abaixo então qualquer combinação linear de u e v é solução dessa mesma equação:
5. y u_{x x}+u_{x}+x u=0

Passo 1

O enunciado nos dá que u e v são soluções da equação
y\,u_{x x}+u_{x}+x\,u=0.
O que se pede: provar diretamente que qualquer combinação linear de u e v,
w=\alpha u+\beta v
com constantes \alpha e \beta, também é solução da mesma equação.
Informações relevantes fornecidas:
  • u satisfaz \;y\,u_{x x}+u_{x}+x\,u=0.\n
  • v satisfaz \;y\,v_{x x}+v_{x}+x\,v=0.\n
  • \alpha e \beta são constantes (reais, por exemplo).

Passo 2

Definimos a combinação linear que queremos testar:
w=\alpha u+\beta v.
Objetivo explícito agora: mostrar que w satisfaz
y\,w_{x x}+w_{x}+x\,w=0.
A estratégia é calcular w_{x} e w_{xx} e substituir na expressão acima.

Passo 3

Usamos propriedades básicas de derivação: a derivada (parcial em x) é linear, isto é, para constantes \alpha,\beta e funções u,v,
\frac{\partial}{\partial x}(\alpha u+\beta v)=\alpha u_{x}+\beta v_{x},
e aplicando novamente,
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}(\alpha u+\beta v)=\alpha u_{x x}+\beta v_{x x}.
Portanto temos as fórmulas explícitas:
w_{x}=\alpha u_{x}+\beta v_{x}, \qquad w_{x x}=\alpha u_{x x}+\beta v_{x x}.

Passo 4

Agora substituímos essas derivadas na expressão y\,w_{x x}+w_{x}+x\,w e fazemos a álgebra linear, passo a passo:
\begin{aligned} y\,w_{x x}+w_{x}+x\,w &=y\bigl(\alpha u_{x x}+\beta v_{x x}\bigr)+\bigl(\alpha u_{x}+\beta v_{x}\bigr)+x\bigl(\alpha u+\beta v\bigr)\\[4pt] &=\alpha\bigl(y u_{x x}+u_{x}+x u\bigr)+\beta\bigl(y v_{x x}+v_{x}+x v\bigr). \end{aligned}]

Passo 5

Usamos agora a hipótese do enunciado: u e v satisfazem a equação dada, ou seja
y u_{x x}+u_{x}+x u=0 \qquad\text{e}\qquad y v_{x x}+v_{x}+x v=0.
Substituindo essas igualdades na expressão obtida no passo anterior,
y\,w_{x x}+w_{x}+x\,w =\alpha\cdot 0+\beta\cdot 0=0.
Portanto w satisfaz a mesma equação.

Passo 6

Interpretação e lição rápida: a operação L[\varphi]=y\phi_{x x}+\phi_{x}+x\varphi é um operador linear (combina derivadas e multiplicações por funções de x,y, operações que preservam linearidade). Para equações homogêneas L[\varphi]=0 a coleção de soluções forma um espaço vetorial: somas e múltiplos escalares de soluções são soluções. Neste exercício demonstramos isso diretamente por substituição.

Resposta

Qualquer combinação linear \alpha u+\beta v (com \alpha,\beta constantes) é solução da equação \;y\,u_{x x}+u_{x}+x\,u=0.

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