Um tanque contém 5000 litros de água pura. Salmoura contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada dentro do tanque a uma taxa de 25 l/minuto. Nestas condições, a concentração de sal após
minutos (em gramas por litro) é dada por
O que acontece com a concentração de sal quando
?
Passo 1
O enunciado dá a concentração de sal no tanque em função do tempo:
medida em gramas por litro, e pede o que acontece com essa concentração quando
.
Informação relevante que veio do enunciado:
- A expressão explícita de
é . - A pergunta é: qual é o valor de
?
Passo 2
Vamos escolher um método para calcular o limite quando
cresce sem bound. Uma técnica muito simples e geral para frações racionais é comparar os graus (potências) de
no numerador e no denominador:
- Se os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes das maiores potências.
Aqui o numerador tem termo de maior grau proporcional a(coeficiente ) e o denominador também tem termo proporcional a (coeficiente ). Pelo princípio acima, o limite deve ser a razão . Vou também mostrar o cálculo algébrico que dá exatamente isso, passo a passo, para ficar óbvio na prova.
Passo 3
Cálculo algébrico do limite dividindo numerador e denominador por
(método padrão para limites no infinito):
Dividindo numerador e denominador por
:
Como
, obtemos
Passo 4
Interpretação física (útil para prova e para entender): conforme o tempo cresce muito, a concentração no tanque tende a estabilizar igual à concentração da salmoura que entra, que é
g por litro. Intuitivamente, depois de muito tempo a mistura já “esqueceu” que começou com água pura e a entrada contínua com concentração
g/L domina, gerando esse estado estacionário.
Passo 5
Resumo e dica de prova: para limites no infinito de frações do tipo
basta tomar
. Aqui
e
, logo o limite é
. Mantém a calma — reconhecer esse padrão resolve rápido na prova.