Um tanque contém 5000 litros de água pura. Salmoura contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada dentro do tanque a uma taxa de 25 l/minuto. Nestas condições, a concentração de sal após t minutos (em gramas por litro) é dada por
C(t)=\frac{30 t}{200+t}
O que acontece com a concentração de sal quando t \rightarrow+\infty ?

Passo 1

O enunciado dá a concentração de sal no tanque em função do tempo:
C(t)=\frac{30\,t}{200+t},
medida em gramas por litro, e pede o que acontece com essa concentração quando t\rightarrow+\infty.
Informação relevante que veio do enunciado:
  • A expressão explícita de C(t) é \dfrac{30t}{200+t}.
  • A pergunta é: qual é o valor de \displaystyle\lim_{t\to+\infty}C(t)?

Passo 2

Vamos escolher um método para calcular o limite quando t cresce sem bound. Uma técnica muito simples e geral para frações racionais é comparar os graus (potências) de t no numerador e no denominador:
  • Se os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes das maiores potências.
    Aqui o numerador tem termo de maior grau proporcional a t (coeficiente 30) e o denominador também tem termo proporcional a t (coeficiente 1). Pelo princípio acima, o limite deve ser a razão 30/1. Vou também mostrar o cálculo algébrico que dá exatamente isso, passo a passo, para ficar óbvio na prova.

Passo 3

Cálculo algébrico do limite dividindo numerador e denominador por t (método padrão para limites no infinito):
\lim_{t\to+\infty}C(t)=\lim_{t\to+\infty}\frac{30t}{200+t}.
Dividindo numerador e denominador por t:
\lim_{t\to+\infty}\frac{30t}{200+t} =\lim_{t\to+\infty}\frac{30}{200/t+1}.
Como \displaystyle\lim_{t\to+\infty}\frac{200}{t}=0, obtemos
\lim_{t\to+\infty}\frac{30}{200/t+1}=\frac{30}{0+1}=30.

Passo 4

Interpretação física (útil para prova e para entender): conforme o tempo cresce muito, a concentração no tanque tende a estabilizar igual à concentração da salmoura que entra, que é 30 g por litro. Intuitivamente, depois de muito tempo a mistura já “esqueceu” que começou com água pura e a entrada contínua com concentração 30 g/L domina, gerando esse estado estacionário.

Passo 5

Resumo e dica de prova: para limites no infinito de frações do tipo \dfrac{a t + \text{(const)}}{b t + \text{(const)}} basta tomar \dfrac{a}{b}. Aqui a=30 e b=1, logo o limite é 30. Mantém a calma — reconhecer esse padrão resolve rápido na prova.

Resposta

\,30\\ \text{g/L}

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