Determine se cada uma das proposições abaixo é verdadeira:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a proposição
é verdadeira ou falsa.
Informações dadas: os dois conjuntos envolvidos são iguais e ambos contêm exatamente o elemento ; isto é, o primeiro conjunto é
e o segundo conjunto também é
.
A pergunta é única: decidir a veracidade da afirmação .
Informações dadas: os dois conjuntos envolvidos são iguais e ambos contêm exatamente o elemento
A pergunta é única: decidir a veracidade da afirmação
Passo 2
Definição e método para provar uma relação de inclusão.
Dizemos que um conjunto é subconjunto de
, escrito
, quando todo elemento de
também é elemento de
. Em fórmula lógica:
Dizemos que um conjunto
Para provar que
na prova, o procedimento padrão é: “pegamos um elemento arbitrário
e mostramos que necessariamente
”. Esse raciocínio é direto e funciona mesmo quando
tem poucos elementos.
Passo 3
Aplicando o método ao caso concreto.
O conjunto tem exatamente um elemento, que é
. Então, seja
um elemento arbitrário de
. Como o único elemento é
, concluímos que
. Agora verificamos se
pertence ao segundo conjunto:
e o segundo conjunto é
, logo
. Assim, a implicação
é satisfeita para o elemento arbitrário escolhido.
O conjunto
Passo 4
Conclusão da prova.
Visto que qualquer elemento arbitrário de
pertence também a
, a definição de subconjunto é satisfeita. Portanto
é verdadeira.
Visto que qualquer elemento arbitrário
Passo 5
Observação adicional (para evitar confusão prática): algumas pessoas usam notação distinta e reservam
ou
para “subconjunto próprio” (estritamente menor), e
ou
para “subconjunto que pode ser igual”. No enunciado dado estamos a usar
no sentido padrão de inclusão (permitindo igualdade), por isso a afirmação é verdadeira. Se por acaso o autor quisesse dizer “subconjunto próprio” (estrito), então a proposição seria falsa porque um conjunto não é subconjunto próprio de si mesmo.
Resposta
Verdadeira.