Determine se cada uma das proposições abaixo é verdadeira:
\{0\} \subset\{0\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a proposição \{0\} \subset \{0\} é verdadeira ou falsa.
Informações dadas: os dois conjuntos envolvidos são iguais e ambos contêm exatamente o elemento 0; isto é, o primeiro conjunto é \{0\} e o segundo conjunto também é \{0\}.
A pergunta é única: decidir a veracidade da afirmação \{0\} \subset \{0\}.

Passo 2

Definição e método para provar uma relação de inclusão.
Dizemos que um conjunto A é subconjunto de B, escrito \;A \subset B\;, quando todo elemento de A também é elemento de B. Em fórmula lógica:
A \subset B \quad\text{significa}\quad \forall x\,(x\in A \Rightarrow x\in B).
Para provar que A\subset B na prova, o procedimento padrão é: “pegamos um elemento arbitrário x\in A e mostramos que necessariamente x\in B”. Esse raciocínio é direto e funciona mesmo quando A tem poucos elementos.

Passo 3

Aplicando o método ao caso concreto.
O conjunto \{0\} tem exatamente um elemento, que é 0. Então, seja x um elemento arbitrário de \{0\}. Como o único elemento é 0, concluímos que x=0. Agora verificamos se x pertence ao segundo conjunto: x=0 e o segundo conjunto é \{0\}, logo x\in\{0\}. Assim, a implicação x\in\{0\}\Rightarrow x\in\{0\} é satisfeita para o elemento arbitrário escolhido.

Passo 4

Conclusão da prova.
Visto que qualquer elemento arbitrário x de \{0\} pertence também a \{0\}, a definição de subconjunto é satisfeita. Portanto \{0\}\subset\{0\} é verdadeira.

Passo 5

Observação adicional (para evitar confusão prática): algumas pessoas usam notação distinta e reservam \subsetneq ou \subsetneqq para “subconjunto próprio” (estritamente menor), e \subset ou \subseteq para “subconjunto que pode ser igual”. No enunciado dado estamos a usar \subset no sentido padrão de inclusão (permitindo igualdade), por isso a afirmação é verdadeira. Se por acaso o autor quisesse dizer “subconjunto próprio” (estrito), então a proposição seria falsa porque um conjunto não é subconjunto próprio de si mesmo.

Resposta

Verdadeira.

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