Em um determinado país há um total de 5 milhões de empresas. Por meio de um processo de amostragem deseja-se estimar a proporção dessas empresas que tiveram prejuízo financeiro no ano anterior com um erro absoluto menor que
, sendo que o erro máximo especificado aqui não deve ser ultrapassado com probabilidade 0,99 . Sabe-se que a proporção de empresas que tiveram prejuízo no ano anterior está entre
e
. Dimensione uma amostra aleatória que satisfaça as especificações anteriores.
Passo 1
O enunciado pede que dimensionemos (isto é, calculemos o tamanho de) uma amostra aleatória de empresas, de modo que a estimativa da proporção das empresas que tiveram prejuízo no ano anterior tenha erro absoluto menor que
com probabilidade
. Dados fornecidos e relevantes:
- Tamanho da população:
(5 milhões de empresas). - Margem máxima de erro absoluta desejada:
. - Nível de confiança desejado:
(ou seja, probabilidade de que o erro não ultrapasse é ). - Informação adicional: a proporção verdadeira
está entre e , ou seja .
As perguntas implícitas: qual o menorque garante a condição acima? (Deve-se apresentar o valor de .)
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Quando estimamos uma proporção por amostragem aleatória simples sem reposição, a estimativa
tem variabilidade controlada pelo desvio padrão amostral aproximado
onde
é a proporção verdadeira (desconhecida),
é o tamanho da amostra e o segundo fator é a correção para população finita (FPC).
- Para um nível de confiança
(aqui ), o quantil crítico da normal padrão é . A margem de erro aproximada é
Queremos
.
- Isolando
(usando a FPC) obtemos a fórmula direta para o tamanho da amostra:
- Se a população fosse considerada infinita, a fórmula simplificada é
e depois se desejar aplica-se a correção finita. Explico cada símbolo:
-
: tamanho da população; -
: quantil da normal padrão tal que ; -
: variância da proporção (produto da proporção pelo complemento); -
: margem de erro absoluta desejada; -
: tamanho de amostra requerido.
Passo 3
Como não sabemos
exatamente, usamos a informação extra
para escolher um valor conservador de
(o que maximiza a variância
dentro do intervalo conhecido). A função
aumenta em
, logo dentro de
o máximo ocorre em
. Então escolhemos
Passo 4
Obter o quantil
para nível de confiança
:
- Aqui
e . O quantil da normal padrão correspondente a é aproximadamente
Vou usar
e então
Passo 5
Cálculo do tamanho de amostra sem considerar a correção finita (primeiro passo para entender a escala):
Calcule passo a passo:
então
Interpretação: se a população fosse infinita precisaríamos de cerca de
observações — na prática arredondamos para cima porque devemos garantir a margem de erro.
Passo 6
Aplicando a correção para população finita (FPC). Usamos a fórmula
Substituindo os números:
Logo
Observação: como
é muito grande comparado a
, a FPC praticamente não alterou o
.
Passo 7
Arredondamento e escolha final: devemos sempre arredondar para cima o
obtido (para não correr o risco de ter erro maior que o permitido). Assim,
Comentário de verificação: se alguém insistisse em usar a aproximação “pessimista” global
(máxima variância possível), obteria um
maior (cerca de
), mas dado o conhecimento extra de que
isso seria desnecessário e levaria a uma amostra muito maior do que o necessário. Usando
obtemos
, que é suficiente para a especificação pedida.