Em um determinado país há um total de 5 milhões de empresas. Por meio de um processo de amostragem deseja-se estimar a proporção dessas empresas que tiveram prejuízo financeiro no ano anterior com um erro absoluto menor que 10 \%, sendo que o erro máximo especificado aqui não deve ser ultrapassado com probabilidade 0,99 . Sabe-se que a proporção de empresas que tiveram prejuízo no ano anterior está entre 2 \% e 8 \%. Dimensione uma amostra aleatória que satisfaça as especificações anteriores.

Passo 1

O enunciado pede que dimensionemos (isto é, calculemos o tamanho de) uma amostra aleatória de empresas, de modo que a estimativa da proporção das empresas que tiveram prejuízo no ano anterior tenha erro absoluto menor que 10\% com probabilidade 0{,}99. Dados fornecidos e relevantes:
  • Tamanho da população: N = 5\,000\,000 (5 milhões de empresas).
  • Margem máxima de erro absoluta desejada: E = 10\% = 0{,}10.
  • Nível de confiança desejado: 0{,}99 (ou seja, probabilidade de que o erro não ultrapasse E é 0{,}99).
  • Informação adicional: a proporção verdadeira p está entre 2\% e 8\%, ou seja 0{,}02 \le p \le 0{,}08.
    As perguntas implícitas: qual o menor n que garante a condição acima? (Deve-se apresentar o valor de n.)

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Quando estimamos uma proporção por amostragem aleatória simples sem reposição, a estimativa \hat p tem variabilidade controlada pelo desvio padrão amostral aproximado
\text{SE}(\hat p)=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}},
onde p é a proporção verdadeira (desconhecida), n é o tamanho da amostra e o segundo fator é a correção para população finita (FPC).
  • Para um nível de confiança 1-\alpha (aqui 0{,}99), o quantil crítico da normal padrão é z_{\alpha/2}. A margem de erro aproximada é
\text{ME} = z_{\alpha/2}\cdot \text{SE}(\hat p).
Queremos \text{ME}\le E.
  • Isolando n (usando a FPC) obtemos a fórmula direta para o tamanho da amostra:
n=\frac{N\,z_{\alpha/2}^2\,p(1-p)}{(N-1)E^2 + z_{\alpha/2}^2\,p(1-p)}.
  • Se a população fosse considerada infinita, a fórmula simplificada é
n_0=\frac{z_{\alpha/2}^2\,p(1-p)}{E^2},
e depois se desejar aplica-se a correção finita. Explico cada símbolo:
  • N: tamanho da população;
  • z_{\alpha/2}: quantil da normal padrão tal que P(|Z| \le z_{\alpha/2}) = 1-\alpha;
  • p(1-p): variância da proporção (produto da proporção pelo complemento);
  • E: margem de erro absoluta desejada;
  • n: tamanho de amostra requerido.

Passo 3

Como não sabemos p exatamente, usamos a informação extra 0{,}02\le p\le 0{,}08 para escolher um valor conservador de p (o que maximiza a variância p(1-p) dentro do intervalo conhecido). A função p(1-p) aumenta em [0,0{,}5], logo dentro de [0{,}02,0{,}08] o máximo ocorre em p=0{,}08. Então escolhemos
p=0{,}08,\qquad p(1-p)=0{,}08\cdot 0{,}92=0{,}0736.

Passo 4

Obter o quantil z_{\alpha/2} para nível de confiança 0{,}99:
  • Aqui \alpha = 0{,}01 e \alpha/2 = 0{,}005. O quantil da normal padrão correspondente a 1-0{,}005=0{,}995 é aproximadamente
z_{0{,}005}\approx 2{,}5758.
Vou usar z_{0{,}005}\approx 2{,}5758 e então
z_{0{,}005}^2 \approx 2{,}5758^2 \approx 6{,}635.

Passo 5

Cálculo do tamanho de amostra sem considerar a correção finita (primeiro passo para entender a escala):
n_0=\frac{z_{0{,}005}^2\,p(1-p)}{E^2} =\frac{6{,}635\cdot 0{,}0736}{0{,}01}.
Calcule passo a passo:
6{,}635\cdot 0{,}0736 \approx 0{,}488036,
então
n_0 \approx \frac{0{,}488036}{0{,}01}=48{,}8036.
Interpretação: se a população fosse infinita precisaríamos de cerca de 48{,}8 observações — na prática arredondamos para cima porque devemos garantir a margem de erro.

Passo 6

Aplicando a correção para população finita (FPC). Usamos a fórmula
n=\frac{N\,z_{0{,}005}^2\,p(1-p)}{(N-1)E^2 + z_{0{,}005}^2\,p(1-p)}.
Substituindo os números:
\text{numerador}=N\cdot 0{,}488036 = 5\,000\,000\cdot 0{,}488036 = 2\,440\,180.
\text{denominador}=(N-1)\cdot 0{,}01 + 0{,}488036 = 4\,999\,999\cdot 0{,}01 + 0{,}488036 \approx 49\,999{,}99 + 0{,}488036 = 50\,000{,}478036.
Logo
n \approx \frac{2\,440\,180}{50\,000{,}478036}\approx 48{,}8036.
Observação: como N é muito grande comparado a n_0, a FPC praticamente não alterou o n_0.

Passo 7

Arredondamento e escolha final: devemos sempre arredondar para cima o n obtido (para não correr o risco de ter erro maior que o permitido). Assim,
n = \lceil 48{,}8036\rceil = 49.
Comentário de verificação: se alguém insistisse em usar a aproximação “pessimista” global p=0{,}5 (máxima variância possível), obteria um n maior (cerca de 166), mas dado o conhecimento extra de que p\le 0{,}08 isso seria desnecessário e levaria a uma amostra muito maior do que o necessário. Usando p=0{,}08 obtemos n=49, que é suficiente para a especificação pedida.

Resposta

n=49

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