Determine se cada uma das proposições abaixo é verdadeira:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a proposição
é verdadeira ou falsa. As informações dadas são:
ou seja, ambos os conjuntos são o mesmo conjunto: o conjunto cujo único elemento é o conjunto vazio
. Também lembramos que
representa o conjunto vazio, isto é, o conjunto que não contém elementos.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de subconjunto, com calma e em miúdos. Dados dois conjuntos
e
, dizemos que
se, e somente se,
Isso quer dizer: "para todo elemento
de
, esse mesmo
também pertence a
". Explicando o símbolo:
é “para todo”, e
é a implicação — se a hipótese
é verdadeira, então a conclusão
deve ser verdadeira.
Passo 3
Vamos detalhar quais são os elementos de
. O conjunto
tem exatamente um elemento, e esse elemento é
. Em notação:
É importante distinguir dois objetos que confundem muita gente:
(o conjunto vazio) e
(o conjunto que contém o conjunto vazio como elemento). O primeiro tem zero elementos; o segundo tem um elemento.
Passo 4
Agora aplicamos a definição de subconjunto ao nosso caso. Queremos mostrar que
Pela definição, devemos pegar um elemento arbitrário
e provar que
. Então comece com:
Mas como o conjunto da direita
contém o elemento
, concluímos que
Portanto, para todo
que pertence ao conjunto da esquerda, esse
também pertence ao conjunto da direita. Isso satisfaz exatamente a definição de subconjunto.
Passo 5
Uma observação rápida e útil: sempre que temos dois conjuntos idênticos
, vale
(e também
). No nosso caso
e
são o mesmo conjunto
, então a relação de subconjunto deve ser verdadeira — é reflexiva.
Resposta
Verdadeira.