Determine se cada uma das proposições abaixo é verdadeira:
\{\varnothing\} \subseteq\{\varnothing\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a proposição
\{\varnothing\} \subseteq \{\varnothing\}
é verdadeira ou falsa. As informações dadas são:
A=\{\varnothing\}\quad\text{e}\quad B=\{\varnothing\},
ou seja, ambos os conjuntos são o mesmo conjunto: o conjunto cujo único elemento é o conjunto vazio \varnothing. Também lembramos que \varnothing representa o conjunto vazio, isto é, o conjunto que não contém elementos.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de subconjunto, com calma e em miúdos. Dados dois conjuntos X e Y, dizemos que
X\subseteq Y
se, e somente se,
\forall x\,(x\in X \Rightarrow x\in Y).
Isso quer dizer: "para todo elemento x de X, esse mesmo x também pertence a Y". Explicando o símbolo: \forall é “para todo”, e \Rightarrow é a implicação — se a hipótese x\in X é verdadeira, então a conclusão x\in Y deve ser verdadeira.

Passo 3

Vamos detalhar quais são os elementos de A=\{\varnothing\}. O conjunto A tem exatamente um elemento, e esse elemento é \varnothing. Em notação:
\text{se } x\in \{\varnothing\}\text{ então } x=\varnothing.ã
É importante distinguir dois objetos que confundem muita gente: \varnothing (o conjunto vazio) e \{\varnothing\} (o conjunto que contém o conjunto vazio como elemento). O primeiro tem zero elementos; o segundo tem um elemento.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de subconjunto ao nosso caso. Queremos mostrar que
\{\varnothing\}\subseteq \{\varnothing\}.
Pela definição, devemos pegar um elemento arbitrário x\in \{\varnothing\} e provar que x\in \{\varnothing\}. Então comece com:
\text{se } x\in \{\varnothing\}, \text{ então } x=\varnothing.ã
Mas como o conjunto da direita \{\varnothing\} contém o elemento \varnothing, concluímos que
x=\varnothing\implies x\in \{\varnothing\}.
Portanto, para todo x que pertence ao conjunto da esquerda, esse x também pertence ao conjunto da direita. Isso satisfaz exatamente a definição de subconjunto.

Passo 5

Uma observação rápida e útil: sempre que temos dois conjuntos idênticos A=B, vale A\subseteq B (e também B\subseteq A). No nosso caso A e B são o mesmo conjunto \{\varnothing\}, então a relação de subconjunto deve ser verdadeira — é reflexiva.

Resposta

Verdadeira.

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