Determine se cada uma das seguintes afirmativas é verdadeira ou falsa. Justifique as afirmativas falsas.
Se
é a resposta ao impulso de um sistema LTI e
é periódico e diferente de zero, o sistema é instável.
Se
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e faz a seguinte pergunta:
- Informação:
é a resposta ao impulso de um sistema LTI, é periódica e é diferente de zero (isto é, não é a função identicamente nula). - Pergunta: A afirmativa “o sistema é instável” é verdadeira ou falsa? Deve-se justificar quando for falsa.
Vou trabalhar com a noção de estabilidade que é a usada em teoria de sinais/sistemas para LTI: estabilidade BIBO (Bounded-Input, Bounded-Output). A resolução começa a partir daí.
Passo 2
Relembre o critério de estabilidade BIBO para sistemas LTI contínuos (a explicação vem como uma “aula rápida” porque isso é essencial aqui).
-
Definição prática: um sistema é BIBO-estável se todo sinal de entrada limitado (ou seja, todo
com ) produz uma saída que também é limitada ( ). -
Teorema (critério padrão para LTI contínuo): Um sistema LTI com resposta ao impulso
é BIBO-estável se, e somente se,
Explicação didática do porquê (direção direta, a mais usada em prova):
- Se
e é limitada com , então a saída é a convolução
Aplicando desigualdade triangular e a limitação de
,
Logo
é limitada por
, e o sistema é BIBO-estável.
- A outra direção (se o sistema é BIBO-estável então
) também é padrão: se consegue-se construir uma entrada limitada que gera saída arbitrariamente grande. (Em provas costuma bastar enunciar essa equivalência, mas a ideia é usar entradas que aproximem o sinal de sinalização de sinal de mesma forma do sinal sign(h) restrito a janelas, fazendo a convolução crescer sem limite.)
Passo 3
Agora vamos usar a periodicidade de
para ver o que acontece com
.
- Seja
um período de , isto é,
- Como
não é identicamente zero, existe pelo menos um ponto com . Como a função é não negativa e não é zero em toda a reta, a integral da função em um período tem valor estritamente positivo. Defina
Então
. (Justificação: se a fosse
então
quase em todo o intervalo
, e pela periodicidade isso implicaria
quase em toda
, ou seja
seria nula quase sempre — contradiz o dado “diferente de zero”. Em contextos elementares, pode-se também argumentar que existe um pequeno intervalo onde
é positiva e assim a integral sobre um período >0.)
- Agora avalie a integral total em
. Pela periodicidade e pela invariância por translação do integral,
Mas por periodicidade
, logo cada parcela é igual a
. Portanto
Como
, essa soma é infinita, isto é,
Passo 4
Conectando os passos: do passo 2 temos que um sistema LTI é BIBO-estável sse
. No passo 3 mostramos que, se
é periódico e não nulo, então
. Logo o critério de estabilidade falha — o sistema NÃO é BIBO-estável, isto é, o sistema é instável (no sentido padrão BIBO).
Observação extra (útil para prova / entendimento): o mesmo argumento vale em tempo discreto. Se
é periódico e não identicamente zero, então
porque soma de blocos repetidos de tamanho do período tem termos positivos, e portanto o sistema discreto também é instável (BIBO).
Também vale comentar um possível contraexemplo mental que pode confundir: funções periódicas com média zero (por exemplo
) têm integral ordinária sobre períodos igual a zero, mas isso não quer dizer que
seja finita — de facto é infinito. A estabilidade pede a integral do valor absoluto finita, não a integral simples finita.
Resposta
Verdadeira.