Determine se cada uma das seguintes afirmativas é verdadeira ou falsa. Justifique as afirmativas falsas.
Se h(t) é a resposta ao impulso de um sistema LTI e h(t) é periódico e diferente de zero, o sistema é instável.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: h(t) é a resposta ao impulso de um sistema LTI, h(t) é periódica e h(t) é diferente de zero (isto é, não é a função identicamente nula).
  • Pergunta: A afirmativa “o sistema é instável” é verdadeira ou falsa? Deve-se justificar quando for falsa.
Vou trabalhar com a noção de estabilidade que é a usada em teoria de sinais/sistemas para LTI: estabilidade BIBO (Bounded-Input, Bounded-Output). A resolução começa a partir daí.

Passo 2

Relembre o critério de estabilidade BIBO para sistemas LTI contínuos (a explicação vem como uma “aula rápida” porque isso é essencial aqui).
  • Definição prática: um sistema é BIBO-estável se todo sinal de entrada limitado (ou seja, todo x(t) com \sup_{t}|x(t)|<\infty) produz uma saída y(t) que também é limitada ( \sup_{t}|y(t)|<\infty).
  • Teorema (critério padrão para LTI contínuo): Um sistema LTI com resposta ao impulso h(t) é BIBO-estável se, e somente se,
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt < \infty.
Explicação didática do porquê (direção direta, a mais usada em prova):
  • Se \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt = M < \infty e x(t) é limitada com \|x\|_\infty := \sup_t |x(t)|, então a saída é a convolução
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
Aplicando desigualdade triangular e a limitação de x,
|y(t)| \le \int_{-\infty}^{\infty} |h(\tau)|\,|x(t-\tau)|\,d\tau \le \|x\|_\infty \int_{-\infty}^{\infty} |h(\tau)|\,d\tau = \|x\|_\infty M.
Logo y(t) é limitada por \|x\|_\infty M, e o sistema é BIBO-estável.
  • A outra direção (se o sistema é BIBO-estável então \int |h|<\infty) também é padrão: se \int |h|=\infty consegue-se construir uma entrada limitada que gera saída arbitrariamente grande. (Em provas costuma bastar enunciar essa equivalência, mas a ideia é usar entradas que aproximem o sinal de sinalização de sinal de mesma forma do sinal sign(h) restrito a janelas, fazendo a convolução crescer sem limite.)

Passo 3

Agora vamos usar a periodicidade de h(t) para ver o que acontece com \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt.
  • Seja T>0 um período de h, isto é,
h(t+T)=h(t)\quad\text{para todo }t.
  • Como h não é identicamente zero, existe pelo menos um ponto t_0 com h(t_0)\ne 0. Como a função t\mapsto |h(t)| é não negativa e não é zero em toda a reta, a integral da função |h| em um período tem valor estritamente positivo. Defina
a := \int_{0}^{T} |h(t)|\,dt.
Então a>0. (Justificação: se a fosse 0 então |h(t)|=0 quase em todo o intervalo [0,T], e pela periodicidade isso implicaria |h|=0 quase em toda \mathbb{R}, ou seja h seria nula quase sempre — contradiz o dado “diferente de zero”. Em contextos elementares, pode-se também argumentar que existe um pequeno intervalo onde |h| é positiva e assim a integral sobre um período >0.)
  • Agora avalie a integral total em \mathbb{R}. Pela periodicidade e pela invariância por translação do integral,
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{kT}^{(k+1)T} |h(t)|\,dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{0}^{T} |h(t+kT)|\,dt.
Mas por periodicidade |h(t+kT)|=|h(t)|, logo cada parcela é igual a a. Portanto
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a.
Como a>0, essa soma é infinita, isto é,
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt = \infty.

Passo 4

Conectando os passos: do passo 2 temos que um sistema LTI é BIBO-estável sse \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt<\infty. No passo 3 mostramos que, se h é periódico e não nulo, então \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt=\infty. Logo o critério de estabilidade falha — o sistema NÃO é BIBO-estável, isto é, o sistema é instável (no sentido padrão BIBO).
Observação extra (útil para prova / entendimento): o mesmo argumento vale em tempo discreto. Se h[n] é periódico e não identicamente zero, então \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|=\infty porque soma de blocos repetidos de tamanho do período tem termos positivos, e portanto o sistema discreto também é instável (BIBO).
Também vale comentar um possível contraexemplo mental que pode confundir: funções periódicas com média zero (por exemplo h(t)=\sin t) têm integral ordinária sobre períodos igual a zero, mas isso não quer dizer que \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| seja finita — de facto é infinito. A estabilidade pede a integral do valor absoluto finita, não a integral simples finita.

Resposta

Verdadeira.

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