Determine se cada uma das seguintes afirmativas é verdadeira ou falsa. Justifique as afirmativas falsas.
Se um sistema discreto LTI possui uma resposta ao impulso
de duração finita, o sistema é estável.
Se um sistema discreto LTI possui uma resposta ao impulso
Passo 1
O enunciado pergunta se a seguinte afirmativa é verdadeira ou falsa (e pede justificativa caso seja falsa):
- Afirmativa: “Se um sistema discreto LTI possui uma resposta ao impulso
de duração finita, o sistema é estável.”
Informações dadas:
- O sistema é discreto e LTI (linear e invariante no tempo).
- A resposta ao impulso
tem duração finita (isto é, existe um intervalo finito de índices em que pode ser não nula; fora desse intervalo ).
O que se pede: decidir se a afirmativa é verdadeira ou falsa e justificar.
Passo 2
Definição que vamos usar: estabilidade BIBO (Bounded-Input Bounded-Output).
Explicação didática:
- Um sistema é dito BIBO estável se, para qualquer entrada limitada, a saída também é limitada.
- “Entrada limitada” significa que existe uma constante
tal que para todo . - “Saída limitada” significa que existe uma constante
(dependente de e do sistema) tal que para todo .
Para sistemas LTI discreto a relação entrada–saída é convolução com a resposta ao impulso. Vou escrever e explicar isso no próximo passo.
Passo 3
Fórmula da saída de um sistema LTI (convolução):
Explicando a fórmula: para um sistema LTI discreto qualquer, a saída
é a convolução da entrada
com a resposta ao impulso
:
O que essa fórmula diz, em palavras: cada valor de saída
é uma soma (potencialmente infinita) de produtos entre os valores de
e valores “atrás” da entrada
. Essa soma é o que pode tornar a saída não limitada se não houver controle sobre
.
Passo 4
O que significa “duração finita” para
e consequência direta.
Definição e explicação:
- Dizer que
tem duração finita significa que existem inteiros e tais que para e para . Em outras palavras, é não nulo apenas para um conjunto finito de índices . - Assim, a soma da convolução reduz-se a uma soma finita:
Isso é importante porque agora não há soma infinita: a saída em cada
é combinação linear de um número finito de amostras de
.
Passo 5
Prova de que a duração finita implica estabilidade (passo a passo com desigualdades).
-
Comece supondo que a entrada é limitada: existe
tal que para todo . -
Escreva a expressão finita da saída:
- Use desigualdade triangular e a hipótese de entrada limitada para obter um limite superior para
:
Como
para todo
, segue
- A soma
é uma soma de um número finito de termos (já que tem suporte finito), logo é um número finito. Defina
Então obtemos
para todo
.
- Conclusão: com
temos para todo . Isso mostra que qualquer entrada limitada produz saída limitada, logo o sistema é BIBO estável.
Passo 6
Comentário intuitivo, exemplo e observações finais (didática extra).
- Intuição simples: se a saída em cada instante depende apenas de um número finito de amostras da entrada, e essas amostras são todas limitadas, então a combinação linear dessas amostras também é limitada — desde que os coeficientes
não sejam infinitos (em teoria de sinais/discretos assumimos finitos). - Exemplo concreto: para
(resposta ao impulso não nula apenas em e ), temos . Se então . - Observação sobre generalidade: a prova não exige causalidade nem que
comece em ; basta que o suporte seja finito. Também vale notar que a condição necessária e suficiente para estabilidade BIBO de um sistema LTI discreto é a somabilidade absoluta de :
Duração finita é um caso particular que garante essa somabilidade.
Resposta
Verdadeira.