Determine se cada uma das seguintes afirmativas é verdadeira ou falsa. Justifique as afirmativas falsas.
Se um sistema discreto LTI possui uma resposta ao impulso h[n] de duração finita, o sistema é estável.

Passo 1

O enunciado pergunta se a seguinte afirmativa é verdadeira ou falsa (e pede justificativa caso seja falsa):
  • Afirmativa: “Se um sistema discreto LTI possui uma resposta ao impulso h[n] de duração finita, o sistema é estável.”
Informações dadas:
  • O sistema é discreto e LTI (linear e invariante no tempo).
  • A resposta ao impulso h[n] tem duração finita (isto é, existe um intervalo finito de índices em que h[n] pode ser não nula; fora desse intervalo h[n]=0).
O que se pede: decidir se a afirmativa é verdadeira ou falsa e justificar.

Passo 2

Definição que vamos usar: estabilidade BIBO (Bounded-Input Bounded-Output).
Explicação didática:
  • Um sistema é dito BIBO estável se, para qualquer entrada limitada, a saída também é limitada.
  • “Entrada limitada” significa que existe uma constante M tal que |x[n]|\le M para todo n.
  • “Saída limitada” significa que existe uma constante B (dependente de M e do sistema) tal que |y[n]|\le B para todo n.
Para sistemas LTI discreto a relação entrada–saída é convolução com a resposta ao impulso. Vou escrever e explicar isso no próximo passo.

Passo 3

Fórmula da saída de um sistema LTI (convolução):
Explicando a fórmula: para um sistema LTI discreto qualquer, a saída y[n] é a convolução da entrada x[n] com a resposta ao impulso h[n]:
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]\,x[n-k].
O que essa fórmula diz, em palavras: cada valor de saída y[n] é uma soma (potencialmente infinita) de produtos entre os valores de h e valores “atrás” da entrada x. Essa soma é o que pode tornar a saída não limitada se não houver controle sobre h.

Passo 4

O que significa “duração finita” para h[n] e consequência direta.
Definição e explicação:
  • Dizer que h[n] tem duração finita significa que existem inteiros N_1 e N_2 tais que h[k]=0 para k<N_1 e para k>N_2. Em outras palavras, h[k] é não nulo apenas para um conjunto finito de índices k\in\{N_1,N_1+1,\dots,N_2\}.
  • Assim, a soma da convolução reduz-se a uma soma finita:
y[n]=\sum_{k=N_1}^{N_2} h[k]\,x[n-k].
Isso é importante porque agora não há soma infinita: a saída em cada n é combinação linear de um número finito de amostras de x.

Passo 5

Prova de que a duração finita implica estabilidade (passo a passo com desigualdades).
  1. Comece supondo que a entrada é limitada: existe M tal que |x[n]|\le M para todo n.
  2. Escreva a expressão finita da saída:
y[n]=\sum_{k=N_1}^{N_2} h[k]\,x[n-k].
  1. Use desigualdade triangular e a hipótese de entrada limitada para obter um limite superior para |y[n]|:
|y[n]|\le \sum_{k=N_1}^{N_2} |h[k]|\;|x[n-k]|.
Como |x[n-k]|\le M para todo k, segue
|y[n]|\le M\sum_{k=N_1}^{N_2} |h[k]|.
  1. A soma \sum_{k=N_1}^{N_2} |h[k]| é uma soma de um número finito de termos (já que h tem suporte finito), logo é um número finito. Defina
H\coloneqq \sum_{k=N_1}^{N_2} |h[k]|<\infty.
Então obtemos
|y[n]|\le M H
para todo n.
  1. Conclusão: com B=M H temos |y[n]|\le B para todo n. Isso mostra que qualquer entrada limitada produz saída limitada, logo o sistema é BIBO estável.

Passo 6

Comentário intuitivo, exemplo e observações finais (didática extra).
  • Intuição simples: se a saída em cada instante depende apenas de um número finito de amostras da entrada, e essas amostras são todas limitadas, então a combinação linear dessas amostras também é limitada — desde que os coeficientes h[k] não sejam infinitos (em teoria de sinais/discretos assumimos h[k] finitos).
  • Exemplo concreto: para h[n]=\delta[n]+0{,}5\,\delta[n-1] (resposta ao impulso não nula apenas em 0 e 1), temos H=|1|+|0{,}5|=1{,}5. Se |x[n]|\le M então |y[n]|\le 1{,}5M.
  • Observação sobre generalidade: a prova não exige causalidade nem que h comece em 0; basta que o suporte seja finito. Também vale notar que a condição necessária e suficiente para estabilidade BIBO de um sistema LTI discreto é a somabilidade absoluta de h[n]:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|<\infty.
Duração finita é um caso particular que garante essa somabilidade.

Resposta

Verdadeira.

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