- ( 25 pts) Um sistema LTI tem a seguinte resposta ao impulso:
a. Encontre a resposta da saída quando a entrada for um degrau unitário.
b. Calcule a saída
para uma entrada
.
b. Calcule a saída
Passo 1
O enunciado dá a resposta ao impulso do sistema LTI:
O que é pedido:
- (a) encontrar a resposta de saída quando a entrada for um degrau unitário
; - (b) calcular a saída
para a entrada .
Observação importante (assunção que faço e justificação): o enunciado tem
dentro de
. Isso parece um erro de digitação porque a resposta ao impulso é função de
; vou assumir que a intenção era
(ou seja,
). Se, em vez disso,
fosse uma constante independente de
, o procedimento seria análogo, mas os termos com seno seriam constantes; aqui seguirei a interpretação natural
. Também observo que
é o degrau unitário e o sistema é causal (porque
é multiplicado por
).
Passo 2
Relembrando a definição e propriedades úteis (passo-a-passo didático):
- Para um sistema LTI, a saída
é a convolução da entrada com a resposta ao impulso :
- Se
(degrau unitário) e é causal (ou seja, para ), então ao usar a expressão da convolução o produto será diferente de zero apenas para entre e (quando ). Isso leva à fórmula prática:
e é zero para
. Vou usar isso para (a).
Expliquei por que os limites da integral vão de
até
:
existe só para
(por
) e
quando
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso
(assumindo
para
):
escrevemos a saída para entrada degrau como a integral de de
até
:
escrevemos a saída para entrada degrau como a integral de
e
para
.
Agora calculamos as integrais separadamente, mostrando cada passo de forma clara.
Passo 4
Cálculo das integrais (passo a passo, sem pular etapas):
- Integral de
:
Explanação: a primitiva de
é
; avaliar de
a
dá
.
- Integral de
:
Explanação: a primitiva de
é
; avaliar nos limites dá
.
Somando as duas partes:
Passo 5
Reescrever a saída do sistema para o caso (a) incluindo a causalidade (fator
):
como já usei a integral válida só para , a expressão completa da saída é
como já usei a integral válida só para
Aqui explico o porquê do
: para
não há contribuição (sistema causal), então a multiplicação por
deixa claro que a saída é zero para
.
Passo 6
Agora (b): entrada
. Usamos linearidade e propriedade de deslocamento temporal:
- Convolução é linear, então
- Mas
é apenas a saída ao degrau, deslocada no tempo por (propriedade do deslocamento): .
Portanto
Passo 7
Substituir a expressão encontrada em (a) para obter a forma explícita:
Explicação sobre comportamento em intervalos de tempo (útil para interpretar na prova):
- Para
: ambos os termos multiplicados por são zero, então . - Para
: o segundo termo é zero (pois ), logo . - Para
: ambos contribuem e a expressão acima vale (combinação dos dois termos).
Resposta
(a)
(b)