1. ( 25 pts) Um sistema LTI tem a seguinte resposta ao impulso:
h(t)=\left[e^{-t}+\operatorname{sen}(y)\right] u(t)
a. Encontre a resposta da saída quando a entrada for um degrau unitário.
b. Calcule a saída y(t) para uma entrada x(t)=u(t)-u(t-2).

Passo 1

O enunciado dá a resposta ao impulso do sistema LTI:
h(t)=\left[e^{-t}+\operatorname{sen}(y)\right] u(t).
O que é pedido:
  • (a) encontrar a resposta de saída quando a entrada for um degrau unitário u(t);
  • (b) calcular a saída y(t) para a entrada x(t)=u(t)-u(t-2).
Observação importante (assunção que faço e justificação): o enunciado tem \operatorname{sen}(y) dentro de h(t). Isso parece um erro de digitação porque a resposta ao impulso é função de t; vou assumir que a intenção era \operatorname{sen}(t) (ou seja, \sin(t)). Se, em vez disso, \operatorname{sen}(y) fosse uma constante independente de t, o procedimento seria análogo, mas os termos com seno seriam constantes; aqui seguirei a interpretação natural h(t)=[e^{-t}+\sin(t)]u(t). Também observo que u(t) é o degrau unitário e o sistema é causal (porque h(t) é multiplicado por u(t)).

Passo 2

Relembrando a definição e propriedades úteis (passo-a-passo didático):
  • Para um sistema LTI, a saída y(t) é a convolução da entrada x(t) com a resposta ao impulso h(t):
y(t)=(h*x)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
  • Se x(t)=u(t) (degrau unitário) e h(t) é causal (ou seja, h(\tau)=0 para \tau<0), então ao usar a expressão da convolução o produto h(\tau)u(t-\tau) será diferente de zero apenas para \tau entre 0 e t (quando t\ge0). Isso leva à fórmula prática:
(h*u)(t)=\int_{0}^{t} h(\tau)\,d\tau \quad\text{para } t\ge0,
e é zero para t<0. Vou usar isso para (a).
Expliquei por que os limites da integral vão de 0 até t: h(\tau) existe só para \tau\ge0 (por u(\tau)) e u(t-\tau)=1 quando \tau\le t.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso h(t) (assumindo h(\tau)=e^{-\tau}+\sin(\tau) para \tau\ge0):
escrevemos a saída para entrada degrau como a integral de h(\tau) de 0 até t:
y_{\text{degrau}}(t)=\int_{0}^{t}\!\big(e^{-\tau}+\sin(\tau)\big)\,d\tau \quad\text{para } t\ge0,
e y_{\text{degrau}}(t)=0 para t<0.
Agora calculamos as integrais separadamente, mostrando cada passo de forma clara.

Passo 4

Cálculo das integrais (passo a passo, sem pular etapas):
  • Integral de e^{-\tau}:
\int_{0}^{t} e^{-\tau}\,d\tau = \big[-e^{-\tau}\big]_{0}^{t} = -e^{-t}-\big(-e^{0}\big)=1-e^{-t}.
Explanação: a primitiva de e^{-\tau} é -e^{-\tau}; avaliar de 0 a t 1-e^{-t}.
  • Integral de \sin(\tau):
\int_{0}^{t} \sin(\tau)\,d\tau = \big[-\cos(\tau)\big]_{0}^{t} = -\cos(t)-\big(-\cos(0)\big)=1-\cos(t).
Explanação: a primitiva de \sin(\tau) é -\cos(\tau); avaliar nos limites dá 1-\cos(t).
Somando as duas partes:
\int_{0}^{t}\big(e^{-\tau}+\sin(\tau)\big)\,d\tau = \big(1-e^{-t}\big)+\big(1-\cos t\big)=2-e^{-t}-\cos t.

Passo 5

Reescrever a saída do sistema para o caso (a) incluindo a causalidade (fator u(t)):
como já usei a integral válida só para t\ge0, a expressão completa da saída é
y_{\text{degrau}}(t)=\big(2-e^{-t}-\cos t\big)\,u(t).
Aqui explico o porquê do u(t): para t<0 não há contribuição (sistema causal), então a multiplicação por u(t) deixa claro que a saída é zero para t<0.

Passo 6

Agora (b): entrada x(t)=u(t)-u(t-2). Usamos linearidade e propriedade de deslocamento temporal:
  • Convolução é linear, então
y(t)=h*x(t)=h*u(t)-h*u(t-2).
  • Mas h*u(t-2) é apenas a saída ao degrau, deslocada no tempo por +2 (propriedade do deslocamento): (h*u)(t-2)=y_{\text{degrau}}(t-2).
Portanto
y(t)=y_{\text{degrau}}(t)-y_{\text{degrau}}(t-2).

Passo 7

Substituir a expressão encontrada em (a) para obter a forma explícita:
y(t)=\big(2-e^{-t}-\cos t\big)u(t)\;-\;\big(2-e^{-(t-2)}-\cos(t-2)\big)u(t-2).
Explicação sobre comportamento em intervalos de tempo (útil para interpretar na prova):
  • Para t<0: ambos os termos multiplicados por u(\cdot) são zero, então y(t)=0.
  • Para 0\le t<2: o segundo termo é zero (pois u(t-2)=0), logo y(t)=2-e^{-t}-\cos t.
  • Para t\ge2: ambos contribuem e a expressão acima vale (combinação dos dois termos).

Resposta

(a) \;y(t)=\big(2-e^{-t}-\cos t\big)\,u(t)
(b) \;y(t)=\big(2-e^{-t}-\cos t\big)u(t)-\big(2-e^{-(t-2)}-\cos(t-2)\big)u(t-2)

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