- (30 pts) Sabendo-se que a resposta ao degrau de um sistema LTI é dada por:
Determine:
c) Se o sistema é estável ou instável utilizando a definição de BIBO estabilidade.
d) A resposta do sistema para a entrada
.
c) Se o sistema é estável ou instável utilizando a definição de BIBO estabilidade.
d) A resposta do sistema para a entrada
Passo 1
O enunciado dá a resposta ao degrau do sistema (isto é, a saída quando a entrada é a função degrau unitário) como
As perguntas que precisamos responder são:
- (c) Determinar se o sistema é estável segundo a definição BIBO (Bounded-Input Bounded-Output).
- (d) Calcular a resposta do sistema para a entrada
.
Informações relevantes dadas:
- A função
é a resposta ao degrau (resposta a ) para . - A expressão de
nos permite obter a resposta ao impulso (usando a relação entre passo e impulso para sistemas LTI). - A entrada pedida em (d) é um exponencial truncado: vale
no intervalo e zero fora.
Passo 2
Relação passo → impulso (intuição e fórmula):
- Para um sistema LTI causal e em repouso, a resposta ao degrau
e a resposta ao impulso estão ligadas por derivação (no sentido das distribuições):
mas atenção: se
tiver um salto em
(isto é,
), a derivada em distribuições inclui um termo impulso
com amplitude igual ao salto
. Isso ocorre porque
tem derivada
.
Aplicando ao nosso caso:
- Como
foi dada apenas para , assumimos a condição usual de problemas assim formulados: o sistema está em repouso antes de , logo . - Calcule
:
Há, portanto, um salto em
de magnitude
Isso implica um termo impulso
na resposta ao impulso.
Agora derivamos a parte contínua de
para
:
Portanto, a resposta ao impulso, em forma distribuicional, é
(onde
garante que a exponencial vale apenas para
). Vou explicar rapidamente o que cada termo significa: o
aparece por causa do salto inicial em
; o termo
é a derivada da parte contínua do passo.
Passo 3
Critério de BIBO estabilidade e aplicação:
- Teorema (para sistemas LTI): o sistema é BIBO estável se, e somente se, a resposta ao impulso for absolutamente integrável:
- Vamos calcular essa integral usando
.
O termo impulso contribui com
para a integral (por definição
). A parte contínua contribui
Somando:
Conclusão: a resposta ao impulso é absolutamente integrável, logo o sistema é BIBO estável.
Intuição leve: apesar do impulso negativo em
, toda a energia/área do impulso + da cauda exponencial é finita, então qualquer entrada limitada gera saída limitada.
Passo 4
Estratégia para calcular a saída para
:
- Usamos linearidade e invariância: escrevemos
como diferença de duas funções mais simples:
- Note que
. Se chamarmos , então a segunda parcela é . Denotando por a resposta do sistema a , pela linearidade a resposta a será
Logo basta calcular
, a resposta do sistema à entrada
.
Passo 5
Cálculo de
por convolução (usando
encontrado):
- Convolução: para um sistema LTI,
. - Como
, podemos escrever a fórmula mais direta (para ):
pois
restringe a integração a
.
Substituindo
na integral (lembrando tratamento do delta):
- Contribuição do impulso:
- Contribuição da parte contínua:
Somando as contribuições:
Para
tem-se
(causalidade).
Passo 6
Montando a saída final
e simplificando por regiões de tempo:
- Para
: e , logo . - Para
: a segunda parcela é zero (pois ), então
- Para
: ambas parcelas contribuem; substituindo e simplificando:
Calculemos a simplificação (faça passo a passo para conferir):
Subtraindo, os termos
se cancelam, sobrando
Resposta
(c) Estável (BIBO estável).
(d) A saída
para
é, em forma peça-wise: