Determine
para cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função de variável complexa
e pede para determinar
, ou seja, a transformada inversa de Laplace
. Informação relevante: denominador
sugere termos do tipo
; numerador é um polinômio de grau 2.
Passo 2
Uma forma prática é fazer a substituição
para escrever tudo em potências de
. Faço
e calculo o numerador em função de
:
Agora desenvolvo os termos:
logo somando:
Passo 3
Substituindo na expressão de
com
obtemos
Agora separo em parcelas simples dividindo cada termo por
:
Voltando a
, isto é
Passo 4
Agora lembro duas coisas fundamentais da transformada de Laplace (essas são fórmulas que você pode usar na prova sem doloridas contas):
- Regra básica para potências de
:
Dessa fórmula, tomamos os casos úteis:
Invertendo esses, obtemos
- Teorema do deslocamento na frequência (shift): se
, então
Na inversa,
.
No nosso caso, cada termo está em função de
, ou seja, corresponde a
no deslocamento. Assim podemos usar as inversas acima substituindo
por
e incluindo o fator
.
Passo 5
Aplico a transformada inversa termo a termo:
Para
:
Para
: primeiro
, multiplicando por
dá
Para
: primeiro
, multiplicando por
dá
Somando os três resultados:
Coloco em fator comum
para ficar mais compacto:
Passo 6
Rápida verificação mental: ao expandir
e aplicar a transformada de Laplace usando linearidade e a regra do deslocamento, volta-se para os termos que tínhamos em
. Isso confirma que a inversa está coerente.