Determine f(t) para cada uma das seguintes funções:
F(s)=\frac{s^{2}+6 s+5}{(s+2)^{3}}\'

Passo 1

O enunciado dá a função de variável complexa
F(s)=\frac{s^{2}+6s+5}{(s+2)^{3}}
e pede para determinar f(t), ou seja, a transformada inversa de Laplace f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}. Informação relevante: denominador (s+2)^{3} sugere termos do tipo \frac{1}{(s+2)^{n}}; numerador é um polinômio de grau 2.

Passo 2

Uma forma prática é fazer a substituição u=s+2 para escrever tudo em potências de u. Faço s=u-2 e calculo o numerador em função de u:
s^{2}+6s+5=(u-2)^{2}+6(u-2)+5.
Agora desenvolvo os termos:
(u-2)^{2}=u^{2}-4u+4,
6(u-2)=6u-12,
logo somando:
(u-2)^{2}+6(u-2)+5 = u^{2}-4u+4+6u-12+5 = u^{2}+2u-3.

Passo 3

Substituindo na expressão de F(s) com u=s+2 obtemos
F(s)=\frac{u^{2}+2u-3}{u^{3}}.
Agora separo em parcelas simples dividindo cada termo por u^{3}:
\frac{u^{2}+2u-3}{u^{3}}=\frac{u^{2}}{u^{3}}+\frac{2u}{u^{3}}-\frac{3}{u^{3}}=\frac{1}{u}+\frac{2}{u^{2}}-\frac{3}{u^{3}}.
Voltando a s, isto é
F(s)=\frac{1}{s+2}+\frac{2}{(s+2)^{2}}-\frac{3}{(s+2)^{3}}.

Passo 4

Agora lembro duas coisas fundamentais da transformada de Laplace (essas são fórmulas que você pode usar na prova sem doloridas contas):
  1. Regra básica para potências de t:
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}\quad\text{para inteiro }n\ge 0.
Dessa fórmula, tomamos os casos úteis:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}},\qquad \mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2}{s^{3}}.
Invertendo esses, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{3}}\right\}=\frac{t^{2}}{2}.
  1. Teorema do deslocamento na frequência (shift): se \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s), então
\mathcal{L}\{e^{-at}g(t)\}=G(s+a).
Na inversa, \mathcal{L}^{-1}\{G(s+a)\}=e^{-at}g(t).
No nosso caso, cada termo está em função de (s+2), ou seja, corresponde a a=2 no deslocamento. Assim podemos usar as inversas acima substituindo s por s+2 e incluindo o fator e^{-2t}.

Passo 5

Aplico a transformada inversa termo a termo:
Para \displaystyle \frac{1}{s+2}:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+2}\right\}=e^{-2t}.
Para \displaystyle \frac{2}{(s+2)^{2}}: primeiro \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{(s+2)^{2}}\}=t e^{-2t}, multiplicando por 2
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{(s+2)^{2}}\right\}=2t e^{-2t}.
Para \displaystyle -\frac{3}{(s+2)^{3}}: primeiro \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{(s+2)^{3}}\}=\frac{t^{2}}{2}e^{-2t}, multiplicando por -3
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{3}{(s+2)^{3}}\right\}=-3\cdot\frac{t^{2}}{2}e^{-2t}=-\frac{3}{2}t^{2}e^{-2t}.
Somando os três resultados:
f(t)=e^{-2t}+2t e^{-2t}-\frac{3}{2}t^{2}e^{-2t}.
Coloco em fator comum e^{-2t} para ficar mais compacto:
f(t)=e^{-2t}\left(1+2t-\frac{3}{2}t^{2}\right).

Passo 6

Rápida verificação mental: ao expandir \displaystyle e^{-2t}\left(1+2t-\tfrac{3}{2}t^{2}\right) e aplicar a transformada de Laplace usando linearidade e a regra do deslocamento, volta-se para os termos que tínhamos em F(s). Isso confirma que a inversa está coerente.

Resposta

f(t)=e^{-2t}\left(1+2t-\frac{3}{2}t^{2}\right)

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