Determine f(t) para cada uma das seguintes funções:
F(s)=\frac{8\left(s^{2}-5 s+50\right)}{s^{2}(s+10)}.

Passo 1

Você me deu a função (no domínio de s) e pediu para determinar a função no domínio do tempo:
F(s)=\frac{8\left(s^{2}-5 s+50\right)}{s^{2}(s+10)}.
O que é pedido: achar f(t) tal que a transformação de f(t) resulte em F(s). As informações relevantes do enunciado são a expressão explícita de F(s) e o denominador com fator repetido s^{2} e fator linear (s+10).

Passo 2

Estratégia (explicação didática das ferramentas que vamos usar):
  • Vamos decompor F(s) em frações simples (partial fractions) do tipo \frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+10},porque o denominador é s^{2}(s+10). Quando o denominador tem um fator repetido s^{2} precisamos incluir tanto \dfrac{A}{s} quanto \dfrac{B}{s^{2}}.
  • Depois faremos a transformada inversa de cada termo separadamente, usando a linearidade (a transformada inversa de soma é soma das transformadas inversas) e as equivalências básicas: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}.Estas fórmulas significam: o termo \dfrac{1}{s} corresponde à função constante 1; \dfrac{1}{s^{2}} corresponde a t; \dfrac{1}{s+a} corresponde a e^{-a t}.
  • Vamos aplicar isso passo a passo, mostrando como encontrar A, B, C.

Passo 3

Fazer a decomposição em frações simples. Supomos
\frac{8\left(s^{2}-5 s+50\right)}{s^{2}(s+10)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+10}.
Multiplicamos ambos os lados por s^{2}(s+10) para eliminar denominadores:
8\left(s^{2}-5 s+50\right)=A\cdot s(s+10)+B\cdot (s+10)+C\cdot s^{2}.
Agora expandimos o lado direito:
A\cdot s(s+10)=A(s^{2}+10s)=A s^{2}+10A s,
B\cdot(s+10)=B s+10B,
C\cdot s^{2}=C s^{2}.
Somando,
A s^{2}+10A s + B s + 10B + C s^{2} = (A+C)s^{2}+(10A+B)s+10B.
Comparando coeficientes com o lado esquerdo 8s^{2}-40s+400 (porque 8(s^{2}-5s+50)=8s^{2}-40s+400), obtemos o sistema:
\begin{cases} A+C = 8,\\[4pt] 10A + B = -40,\\[4pt] 10B = 400. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema encontrado:
  • Da terceira equação 10B=400 segue B=40.
  • Substituindo B=40 na segunda equação 10A+B=-40 10A+40=-40, logo 10A=-80 e A=-8.
  • Finalmente, da primeira equação A+C=8 temos C=8-A=8-(-8)=16.
Portanto os coeficientes são
A=-8,\qquad B=40,\qquad C=16.

Passo 5

Reescrevemos F(s) com os coeficientes encontrados:
F(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+10} =\frac{-8}{s}+\frac{40}{s^{2}}+\frac{16}{s+10}.
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando as fórmulas do Passo 2.

Passo 6

Calcular a transformada inversa de cada termo (explicando cada passo):
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{-8}{s}\right\}=-8\cdot\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=-8\cdot 1=-8. Aqui usei linearidade: constante multiplicativa sai da transformada inversa.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{40}{s^{2}}\right\}=40\cdot\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=40\cdot t=40t. Lembre que \dfrac{1}{s^{2}} corresponde a t.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{16}{s+10}\right\}=16\cdot\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+10}\right\}=16\cdot e^{-10t}=16e^{-10t}.
Somando os três resultados (pela linearidade),
f(t)=-8+40t+16e^{-10t},\qquad t\ge 0.

Passo 7

Verificação rápida (confirmação): aplicando a transformada direta em cada termo obtemos
\mathcal{L}\{-8\}=-\frac{8}{s},\quad \mathcal{L}\{40t\}=\frac{40}{s^{2}},\quad \mathcal{L}\{16e^{-10t}\}=\frac{16}{s+10},
e somando recuperamos exatamente F(s). Então a solução está consistente.

Resposta

f(t)=-8+40t+16e^{-10t}

Exercícios relacionados