O que é pedido: achar f(t) tal que a transformação de f(t) resulte em F(s). As informações relevantes do enunciado são a expressão explícita de F(s) e o denominador com fator repetido s^{2} e fator linear (s+10).
Passo 2
Estratégia (explicação didática das ferramentas que vamos usar):
Vamos decompor F(s) em frações simples (partial fractions) do tipo\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+10},porque o denominador é s^{2}(s+10). Quando o denominador tem um fator repetido s^{2} precisamos incluir tanto \dfrac{A}{s} quanto \dfrac{B}{s^{2}}.
Depois faremos a transformada inversa de cada termo separadamente, usando a linearidade (a transformada inversa de soma é soma das transformadas inversas) e as equivalências básicas:\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}.Estas fórmulas significam: o termo \dfrac{1}{s} corresponde à função constante 1; \dfrac{1}{s^{2}} corresponde a t; \dfrac{1}{s+a} corresponde a e^{-a t}.
Vamos aplicar isso passo a passo, mostrando como encontrar A, B, C.
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando as fórmulas do Passo 2.
Passo 6
Calcular a transformada inversa de cada termo (explicando cada passo):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{-8}{s}\right\}=-8\cdot\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=-8\cdot 1=-8. Aqui usei linearidade: constante multiplicativa sai da transformada inversa.
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{40}{s^{2}}\right\}=40\cdot\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=40\cdot t=40t. Lembre que \dfrac{1}{s^{2}} corresponde a t.