Determine
para cada uma das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
tal que a transformada de Laplace de
é
Informações relevantes dadas:
- A função
está escrita como uma razão de polinômios em . - O denominador é
. - Queremos a transformada inversa de Laplace, isto é,
.
Nenhuma outra informação é pedida além de determinar.
Passo 2
Primeiro simplificamos a aparência do denominador completando o quadrado. Note que
Conveniente fazer a substituição
. Assim o denominador vira
. Precisamos escrever o numerador em termos de
. Fazemos
e expandimos:
Agora substituímos no numerador
Calculando termo a termo:
Somando tudo:
Portanto o numerador em
é
Passo 3
Vamos decompor
na forma
Multiplicando em comum denominador o numerador da direita é
Igualando coeficientes com
obtemos o sistema
Resolve-se:
Passo 4
Logo a decomposição encontrada é
Passo 5
Lembrete prático para inverter cada termo:
- A mudança
corresponde, na transformada inversa, a multiplicar por (teorema do deslocamento no plano ). - Sabemos as transformadas básicas (aqui
é o “s deslocado”): - Propriedade útil:
. Como e , podemos derivar em como se fosse .
Passo 6
Invertendo a primeira fração
:
Usando as transformadas básicas:
Portanto a inversa da primeira parte é
Passo 7
Agora tratamos a segunda fração
. Precisamos das inversas de
e de
.
Usamos a propriedade do passo anterior para obter transformadas com quadrado no denominador:
- Calculemos
. Como ,
- Calculemos
. Como ,
Destas identidades segue:
e, usando a fórmula padrão conhecida (ou manipulação similar),
(Verificação rápida: multiplicando a última pela constante apropriada e derivando confirma que sua transformada é
.)
Passo 8
Agora aplicamos essas inversas à segunda parte:
Invertendo termo a termo:
Calcule os coeficientes:
Portanto a inversa da segunda parte é
Expandindo:
Passo 9
Somamos as inversas das duas partes (Passo 6 e Passo 8). Da primeira parte tínhamos
Somando com a segunda parte expandida:
Combine termos semelhantes (os termos sem
em
se combinam, etc.):
Assim podemos escrever de forma compacta: