Determine f(t) para cada uma das seguintes funções:
\quad F(s)=\frac{16 s^{3}+72 s^{2}+216 s-128}{\left(s^{2}+2 s+5\right)^{2}}\\..

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f(t) tal que a transformada de Laplace de f é
F(s)=\frac{16 s^{3}+72 s^{2}+216 s-128}{\left(s^{2}+2 s+5\right)^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função F(s) está escrita como uma razão de polinômios em s.
  • O denominador é \left(s^{2}+2s+5\right)^{2}.
  • Queremos a transformada inversa de Laplace, isto é, f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
    Nenhuma outra informação é pedida além de determinar f(t).

Passo 2

Primeiro simplificamos a aparência do denominador completando o quadrado. Note que
s^{2}+2s+5=(s+1)^{2}+4.
Conveniente fazer a substituição p=s+1. Assim o denominador vira \left(p^{2}+4\right)^{2}. Precisamos escrever o numerador em termos de p. Fazemos s=p-1 e expandimos:
\begin{aligned} s&=p-1,\\\ s^{2}&=p^{2}-2p+1,\\\ s^{3}&=p^{3}-3p^{2}+3p-1. \end{aligned}
Agora substituímos no numerador
16s^{3}+72s^{2}+216s-128.
Calculando termo a termo:
\begin{aligned} 16s^{3}&=16p^{3}-48p^{2}+48p-16,\\\\ 72s^{2}&=72p^{2}-144p+72,\\\\ 216s&=216p-216,\\\\ -128&=-128. \end{aligned}
Somando tudo:
16p^{3}+( -48+72)p^{2}+(48-144+216)p+(-16+72-216-128).
Portanto o numerador em p é
16p^{3}+24p^{2}+120p-288.

Passo 3

Vamos decompor F na forma
\frac{16p^{3}+24p^{2}+120p-288}{\left(p^{2}+4\right)^{2}} = \frac{E p+F}{p^{2}+4}+\frac{G p+H}{\left(p^{2}+4\right)^{2}}.
Multiplicando em comum denominador o numerador da direita é
(Ep+F)(p^{2}+4)+(Gp+H)=E p^{3}+F p^{2}+(4E+G)p+(4F+H).
Igualando coeficientes com 16p^{3}+24p^{2}+120p-288 obtemos o sistema
\begin{aligned} E&=16,\\\ F&=24,\\\\ 4E+G&=120,\\\\ 4F+H&=-288. \end{aligned}
Resolve-se:
\begin{aligned} E&=16,\\\ F&=24,\\\ G&=120-4E=120-64=56,\\\ H&=-288-4F=-288-96=-384. \end{aligned}

Passo 4

Logo a decomposição encontrada é
F(s)=\frac{16p+24}{p^{2}+4}+\frac{56p-384}{\left(p^{2}+4\right)^{2}}, \qquad\text{com }p=s+1.

Passo 5

Lembrete prático para inverter cada termo:
  • A mudança p=s+1 corresponde, na transformada inversa, a multiplicar por e^{-t} (teorema do deslocamento no plano s).
  • Sabemos as transformadas básicas (aqui p é o “s deslocado”): \mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\}=\frac{p}{p^{2}+4},\qquad \mathcal{L}\{e^{-t}\sin(2t)\}=\frac{2}{p^{2}+4}.
  • Propriedade útil: \mathcal{L}\{t\,g(t)\}=-\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{g(t)\}. Como p=s+1 e dp/ds=1, podemos derivar em p como se fosse s.

Passo 6

Invertendo a primeira fração \dfrac{16p+24}{p^{2}+4}:
\frac{16p+24}{p^{2}+4}=16\cdot\frac{p}{p^{2}+4}+24\cdot\frac{1}{p^{2}+4}.
Usando as transformadas básicas:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{p}{p^{2}+4}\right\}=e^{-t}\cos(2t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{p^{2}+4}\right\}=\frac{1}{2}e^{-t}\sin(2t).
Portanto a inversa da primeira parte é
16e^{-t}\cos(2t)+24\cdot\frac{1}{2}e^{-t}\sin(2t)=16e^{-t}\cos(2t)+12e^{-t}\sin(2t).

Passo 7

Agora tratamos a segunda fração \dfrac{56p-384}{(p^{2}+4)^{2}}. Precisamos das inversas de \dfrac{p}{(p^{2}+4)^{2}} e de \dfrac{1}{(p^{2}+4)^{2}}.
Usamos a propriedade do passo anterior para obter transformadas com quadrado no denominador:
  • Calculemos \mathcal{L}\{t e^{-t}\cos(2t)\}. Como \mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\}=\dfrac{p}{p^{2}+4},
\mathcal{L}\{t e^{-t}\cos(2t)\}=-\frac{d}{dp}\left(\frac{p}{p^{2}+4}\right) =\frac{p^{2}-4}{(p^{2}+4)^{2}}.
  • Calculemos \mathcal{L}\{t e^{-t}\sin(2t)\}. Como \mathcal{L}\{e^{-t}\sin(2t)\}=\dfrac{2}{p^{2}+4},
\mathcal{L}\{t e^{-t}\sin(2t)\}=-\frac{d}{dp}\left(\frac{2}{p^{2}+4}\right) =\frac{4p}{(p^{2}+4)^{2}}.
Destas identidades segue:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{p}{(p^{2}+4)^{2}}\right\}=\frac{1}{4}t e^{-t}\sin(2t),
e, usando a fórmula padrão conhecida (ou manipulação similar),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(p^{2}+4)^{2}}\right\} =\frac{1}{16}e^{-t}\big(\sin(2t)-2t\cos(2t)\big).
(Verificação rápida: multiplicando a última pela constante apropriada e derivando confirma que sua transformada é 1/(p^{2}+4)^{2}.)

Passo 8

Agora aplicamos essas inversas à segunda parte:
\frac{56p-384}{(p^{2}+4)^{2}}=56\cdot\frac{p}{(p^{2}+4)^{2}}-384\cdot\frac{1}{(p^{2}+4)^{2}}.
Invertendo termo a termo:
56\cdot\frac{1}{4}t e^{-t}\sin(2t)\;-\;384\cdot\frac{1}{16}e^{-t}\big(\sin(2t)-2t\cos(2t)\big).
Calcule os coeficientes:
56\cdot\frac{1}{4}=14,\qquad 384\cdot\frac{1}{16}=24.
Portanto a inversa da segunda parte é
14\,t e^{-t}\sin(2t)-24\,e^{-t}\big(\sin(2t)-2t\cos(2t)\big).
Expandindo:
14\,t e^{-t}\sin(2t)-24e^{-t}\sin(2t)+48\,t e^{-t}\cos(2t).

Passo 9

Somamos as inversas das duas partes (Passo 6 e Passo 8). Da primeira parte tínhamos
16e^{-t}\cos(2t)+12e^{-t}\sin(2t).
Somando com a segunda parte expandida:
\begin{aligned} f(t)&=16e^{-t}\cos(2t)+12e^{-t}\sin(2t)\\\ &\quad+14\,t e^{-t}\sin(2t)-24e^{-t}\sin(2t)+48\,t e^{-t}\cos(2t). \end{aligned}
Combine termos semelhantes (os termos sem t em \sin se combinam, etc.):
\begin{aligned} \text{coeficiente de }e^{-t}\cos(2t):&\\\ 16,\\\ \text{coeficiente de }e^{-t}\sin(2t):&\\\ 12-24=-12,\\\ \text{coeficiente de }t e^{-t}\cos(2t):&\\\ 48,\\\ \text{coeficiente de }t e^{-t}\sin(2t):&\\\ 14. \end{aligned}
Assim podemos escrever de forma compacta:
f(t)=e^{-t}\Big((16+48t)\cos(2t)+(-12+14t)\sin(2t)\Big).

Resposta

f(t)=e^{-t}\big((16+48t)\cos(2t)+(-12+14t)\sin(2t)\big)

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