Determine
para cada uma das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função transformada
e pede determinar
, ou seja, a transformada inversa de Laplace de
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é uma função racional (fração de polinômios). - O denominador fatoriza como
e ; portanto os pólos são em (simples) e (duplo). - Precisamos encontrar
definida para .
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática e por que funciona): vamos usar decomposição em frações parciais para escrever
como soma de termos cujas transformadas inversas são conhecidas. Isso funciona bem quando
é racional e o grau do numerador é menor que o do denominador (ou se não for, primeiro dividir polinômios — aqui não é necessário). Também usaremos a linearidade da transformada de Laplace: a transformada inversa de uma soma é a soma das transformadas inversas.
Lembrete útil (fórmulas que usaremos):
Aqui
é uma constante e
é a variável do domínio temporal. A última identidade pode ser vista diretamente por cálculo:
para
, usando
.
Passo 3
Vamos fazer a decomposição em frações parciais. Escrevo primeiro a parte racional sem o fator
:
Passo 4
Multiplico ambos os lados por
para obter uma igualdade de polinômios:
Passo 5
Distribuo e somo termos do lado direito. Primeiro expando
e
:
Somando e incluindo
obtenho:
Ou seja, o polinômio do lado direito é
Passo 6
Comparo coeficientes com o polinômio
Da última equação vem imediatamente (A=1].]
Passo 7
Substituo
Portanto
,
.]
Passo 8
Reescrevo
usando os coeficientes encontrados e o fator
:
Posso distribuir o
:
Passo 9
Agora aplico a transformada inversa termo a termo, usando as fórmulas do Passo 2:
Note que o sinal do último termo em
era negativo, então a transformação inversa correspondente será negativa:
.
Passo 10
Somando os três termos obtidos pela linearidade, obtemos a função no tempo:
Podemos também escrever fatorando
se preferir: