Determine f(t) para cada uma das seguintes funções:
\quad F(s)=\frac{10\left(3 s^{2}+4 s+4\right)}{s(s+2)^{2}}\\..

Passo 1

O enunciado dá a função transformada
F(s)=\frac{10\left(3 s^{2}+4 s+4\right)}{s(s+2)^{2}}
e pede determinar f(t), ou seja, a transformada inversa de Laplace de F(s). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • F(s) é uma função racional (fração de polinômios).
  • O denominador fatoriza como s e (s+2)^{2}; portanto os pólos são em s=0 (simples) e s=-2 (duplo).
  • Precisamos encontrar f(t) definida para t\ge 0.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática e por que funciona): vamos usar decomposição em frações parciais para escrever F(s) como soma de termos cujas transformadas inversas são conhecidas. Isso funciona bem quando F(s) é racional e o grau do numerador é menor que o do denominador (ou se não for, primeiro dividir polinômios — aqui não é necessário). Também usaremos a linearidade da transformada de Laplace: a transformada inversa de uma soma é a soma das transformadas inversas.
Lembrete útil (fórmulas que usaremos):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+a)^{2}}\right\}=t e^{-a t}.
Aqui a é uma constante e t é a variável do domínio temporal. A última identidade pode ser vista diretamente por cálculo:
\mathcal{L}\{t e^{-a t}\}=\int_{0}^{\infty} t e^{-(s+a)t}\,dt=\frac{1}{(s+a)^{2}}
para \Re(s+a)>0, usando \int_{0}^{\infty} t e^{-k t}\,dt=\frac{1}{k^{2}}.

Passo 3

Vamos fazer a decomposição em frações parciais. Escrevo primeiro a parte racional sem o fator 10:
\frac{3 s^{2}+4 s+4}{s(s+2)^{2}}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2)^{2}}.

Passo 4

Multiplico ambos os lados por s(s+2)^{2} para obter uma igualdade de polinômios:
3 s^{2}+4 s+4 = A(s+2)^{2} + B s(s+2) + C s.

Passo 5

Distribuo e somo termos do lado direito. Primeiro expando A(s+2)^{2} e B s(s+2):
A(s+2)^{2}=A(s^{2}+4s+4)=A s^{2}+4A s+4A,
B s(s+2)=B(s^{2}+2s)=B s^{2}+2B s.
Somando e incluindo C s obtenho:
A s^{2}+B s^{2} + (4A+2B+C)s + 4A.
Ou seja, o polinômio do lado direito é
(A+B)s^{2} + (4A+2B+C)s + 4A.

Passo 6

Comparo coeficientes com o polinômio 3 s^{2}+4 s+4\). Igualando coeficientes de \(s^{2}\), \(s\) e termo constante: \[\begin{cases} A+B=3,\\[4pt] 4A+2B+C=4,\\[4pt] 4A=4. \end{cases}
Da última equação vem imediatamente (A=1].]

Passo 7

Substituo A=1\) nas outras duas equações: \[\begin{cases} 1+B=3 \Rightarrow B=2,\\[4pt] 4\cdot 1 + 2\cdot 2 + C=4 \Rightarrow 4+4+C=4 \Rightarrow C=-4. \end{cases}
Portanto A=1\], \(B=2, C=-4.]

Passo 8

Reescrevo F(s) usando os coeficientes encontrados e o fator 10:
F(s)=10\left(\frac{1}{s}+\frac{2}{s+2}-\frac{4}{(s+2)^{2}}\right).
Posso distribuir o 10:
F(s)=\frac{10}{s}+\frac{20}{s+2}-\frac{40}{(s+2)^{2}}.

Passo 9

Agora aplico a transformada inversa termo a termo, usando as fórmulas do Passo 2:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{10}{s}\right\}=10\cdot 1=10,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{20}{s+2}\right\}=20 e^{-2 t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{40}{(s+2)^{2}}\right\}=40\, t e^{-2 t}.
Note que o sinal do último termo em F(s) era negativo, então a transformação inversa correspondente será negativa: -40\, t e^{-2 t}.

Passo 10

Somando os três termos obtidos pela linearidade, obtemos a função no tempo:
f(t)=10 + 20 e^{-2 t} - 40\, t e^{-2 t}.
Podemos também escrever fatorando e^{-2t} se preferir:
f(t)=10 + e^{-2 t}\bigl(20-40 t\bigr).

Resposta

f(t)=10+20e^{-2t}-40te^{-2t}

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