Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é solução da equação de Laplace
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O que se deve checar: se a soma das segundas derivadas parciais em
e em é igual a zero.
Passo 2
Lembrete didático sobre o que é a equação de Laplace e como verificar:
- A equação de Laplace em duas variáveis pede que a laplaciana de
, definida por
seja igual a zero em todo o domínio considerado.
- Para verificar se uma função é solução, calcula-se
e (as derivadas parciais de primeira ordem) e então e (as derivadas parciais de segunda ordem) e soma-se os dois resultados. - Regra de diferenciação usada aqui: a derivada parcial de
em relação a é ; a derivada parcial de em relação a é (pois é tratado como constante quando se diferencia em relação a ). Análoga para derivar em relação a .
Passo 3
Calcular
, a derivada parcial de primeira ordem em relação a
:
Explicação: ao derivar
em relação a
obtém-se zero porque
é tratado como constante.
Passo 4
Calcular
, a derivada parcial segunda em relação a
:
Explicação: a derivada de
em relação a
é
, que é uma constante.
Passo 5
Calcular
e
, as derivadas parciais em relação a
:
Explicação: ao derivar
em relação a
obtém-se zero; a derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Somar as segundas derivadas para avaliar a equação de Laplace:
Como o resultado é
e não
, a função
NÃO satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
Não.
, logo
não é solução da equação de Laplace.