Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace u_{x x}+u_{y y}=0.
u=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função u(x,y)=x^{2}+y^{2} é solução da equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \;u(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • O que se deve checar: se a soma das segundas derivadas parciais em x e em y é igual a zero.

Passo 2

Lembrete didático sobre o que é a equação de Laplace e como verificar:
  • A equação de Laplace em duas variáveis pede que a laplaciana de u, definida por
\Delta u = u_{xx}+u_{yy},
seja igual a zero em todo o domínio considerado.
  • Para verificar se uma função é solução, calcula-se u_x e u_y (as derivadas parciais de primeira ordem) e então u_{xx} e u_{yy} (as derivadas parciais de segunda ordem) e soma-se os dois resultados.
  • Regra de diferenciação usada aqui: a derivada parcial de x^{2} em relação a x é 2x; a derivada parcial de y^{2} em relação a x é 0 (pois y é tratado como constante quando se diferencia em relação a x). Análoga para derivar em relação a y.

Passo 3

Calcular u_x, a derivada parcial de primeira ordem em relação a x:
u(x,y)=x^{2}+y^{2}\quad\Rightarrow\quad u_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial x}(y^{2})=2x+0=2x.
Explicação: ao derivar y^{2} em relação a x obtém-se zero porque y é tratado como constante.

Passo 4

Calcular u_{xx}, a derivada parcial segunda em relação a x:
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(u_x)=\frac{\partial}{\partial x}(2x)=2.
Explicação: a derivada de 2x em relação a x é 2, que é uma constante.

Passo 5

Calcular u_y e u_{yy}, as derivadas parciais em relação a y:
u_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=0+2y=2y,
u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(u_y)=\frac{\partial}{\partial y}(2y)=2.
Explicação: ao derivar x^{2} em relação a y obtém-se zero; a derivada de 2y em relação a y é 2.

Passo 6

Somar as segundas derivadas para avaliar a equação de Laplace:
u_{xx}+u_{yy}=2+2=4.
Como o resultado é \;4 e não 0, a função u(x,y)=x^{2}+y^{2} NÃO satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

Não. u_{xx}+u_{yy}=4, logo u(x,y)=x^{2}+y^{2} não é solução da equação de Laplace.

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