(Aplicação Real) Em Engenharia Ambiental, o termo
na exponencial
está relacionado ao “Tempo de Residência Hidráulica”. Se aumentarmos o tamanho do tanque para 400 Litros, mantendo a vazão de
, o sistema limpará mais rápido ou mais devagar? Justifique matematicamente.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Foi dada uma expressão exponencial do tipo
. - A vazão é
. - O volume do tanque será aumentado para
. - A pergunta: o sistema (tanque bem misturado) limpará mais rápido ou mais devagar ao aumentar o volume para
? Pedem justificativa matemática.
Passo 2
Modelo físico e equação diferencial (massinha mastigada).
- Considere um tanque bem misturado onde, a partir de
, a concentração na entrada cai para zero (ou o tanque começa com uma concentração inicial e a entrada tem ). - Fazendo balanço de massa para a substância no tanque: variação de massa no tanque = entrada − saída. Se a entrada tem concentração zero, só resta a saída. Em termos de concentração
isso vira
Aqui:
-
é a concentração no tanque em função do tempo (unidade qualquer), -
é a vazão volumétrica ( ), -
é o volume do tanque ( ). - Essa é uma equação diferencial linear simples de primeira ordem. Separando e integrando:
Com condição inicial
obtemos a solução
Passo 3
Definição e interpretação do Tempo de Residência Hidráulica (TRH).
- Define-se o tempo de residência hidráulica (também chamado de tempo médio de escoamento) por
- Reescrevendo a solução com
:
- Assim o termo
visto em corresponde a e implica . Ou seja, originalmente .
Passo 4
Calcular o volume original (para checar coerência) e o novo tempo de residência.
- Se
e , o volume original era
- Com o novo volume
e mesma vazão , o novo tempo de residência é
- Em termos da exponencial, a constante de decaimento passa de
para , isto é a solução fica
Passo 5
Comparação direta das velocidades de limpeza (intuição matemática).
- A taxa de decaimento é dada por
. Como dobrou (de para ), foi reduzida à metade (de para ). Menor = decaimento mais lento. - Exemplos numéricos que ajudam a visualizar:
- Concentração após
:
- Concentração após
Ou seja, depois de \(50\\ \mathrm{min}\) o tanque maior ainda tem muito mais poluente.
- Tempo para reduzir à metade (
): Então , e . O tempo para “metade” dobrou também.
Passo 6
Conclusão (palavras de amigo e incentivo).
- Como resultado: aumentando o volume mantendo a vazão, o tempo de residência
aumenta, a constante de decaimento diminui, e a concentração decai mais devagar. Você fez a conta certinha: o tanque passou de para , de para , ou seja, limpeza mais lenta. Isso é intuitivo: mais água para “diluir” exige mais tempo para o sistema escoar e reduzir a concentração.
Resposta
Mais devagar. O tempo de residência passa de
para
, e a exponencial muda de
para
(constante de decaimento reduzida de
para
).