(Aplicação Real) Em Engenharia Ambiental, o termo 1 / 50 na exponencial e^{-t / 50} está relacionado ao “Tempo de Residência Hidráulica”. Se aumentarmos o tamanho do tanque para 400 Litros, mantendo a vazão de 4 \mathrm{~L} / \mathrm{min}, o sistema limpará mais rápido ou mais devagar? Justifique matematicamente.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dada uma expressão exponencial do tipo e^{-t/50}.
  • A vazão é Q=4\\ \mathrm{L/min}.
  • O volume do tanque será aumentado para V_{\text{novo}}=400\\ \mathrm{L}.
  • A pergunta: o sistema (tanque bem misturado) limpará mais rápido ou mais devagar ao aumentar o volume para 400\\ \mathrm{L}? Pedem justificativa matemática.

Passo 2

Modelo físico e equação diferencial (massinha mastigada).
  • Considere um tanque bem misturado onde, a partir de t=0, a concentração na entrada cai para zero (ou o tanque começa com uma concentração inicial C_0 e a entrada tem 0).
  • Fazendo balanço de massa para a substância no tanque: variação de massa no tanque = entrada − saída. Se a entrada tem concentração zero, só resta a saída. Em termos de concentração C(t) isso vira
\frac{dC}{dt} = -\frac{Q}{V}\,C(t).
Aqui:
  • C(t) é a concentração no tanque em função do tempo (unidade qualquer),
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{L/min}),
  • V é o volume do tanque ( \mathrm{L}).
  • Essa é uma equação diferencial linear simples de primeira ordem. Separando e integrando:
\frac{dC}{C} = -\frac{Q}{V}\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln C = -\frac{Q}{V}t + \text{const}.
Com condição inicial C(0)=C_0 obtemos a solução
C(t)=C_0\,e^{-(Q/V)\,t}.

Passo 3

Definição e interpretação do Tempo de Residência Hidráulica (TRH).
  • Define-se o tempo de residência hidráulica (também chamado de tempo médio de escoamento) por
\tau=\frac{V}{Q}.
  • Reescrevendo a solução com \tau:
C(t)=C_0\,e^{-t/\tau}.
  • Assim o termo 1/50 visto em e^{-t/50} corresponde a (Q/V) e implica \tau=50\\ \mathrm{min}. Ou seja, originalmente \tau_{\text{orig}}=50\\ \mathrm{min}.

Passo 4

Calcular o volume original (para checar coerência) e o novo tempo de residência.
  • Se \tau_{\text{orig}}=50\\ \mathrm{min} e Q=4\\ \mathrm{L/min}, o volume original era
V_{\text{orig}}=Q\;\tau_{\text{orig}}=4\cdot50=200\\ \mathrm{L}.
  • Com o novo volume V_{\text{novo}}=400\\ \mathrm{L} e mesma vazão Q=4\\ \mathrm{L/min}, o novo tempo de residência é
\tau_{\text{novo}}=\frac{V_{\text{novo}}}{Q}=\frac{400}{4}=100\\ \mathrm{min}.
  • Em termos da exponencial, a constante de decaimento passa de \dfrac{1}{50} para \dfrac{1}{100}, isto é a solução fica
C_{\text{novo}}(t)=C_0\,e^{-t/100}.

Passo 5

Comparação direta das velocidades de limpeza (intuição matemática).
  • A taxa de decaimento é dada por k=\dfrac{Q}{V}=\dfrac{1}{\tau}. Como \tau dobrou (de 50 para 100), k foi reduzida à metade (de 1/50 para 1/100). Menor k = decaimento mais lento.
  • Exemplos numéricos que ajudam a visualizar:
    • Concentração após t=50\\ \mathrm{min}: C_{\text{orig}}(50)=C_0\,e^{-50/50}=C_0\,e^{-1}\approx 0,3679\,C_0,
C_{\text{novo}}(50)=C_0\,e^{-50/100}=C_0\,e^{-0,5}\approx 0,6065\,C_0.
Ou seja, depois de \(50\\ \mathrm{min}\) o tanque maior ainda tem muito mais poluente.
  • Tempo para reduzir à metade ( t_{1/2}): t_{1/2}=\tau\ln 2\approx 0,693\,\tau.Então t_{1/2,\text{orig}}\approx 0,693\cdot50\approx 34,65\\ \mathrm{min}, e t_{1/2,\text{novo}}\approx 0,693\cdot100\approx 69,3\\ \mathrm{min}. O tempo para “metade” dobrou também.

Passo 6

Conclusão (palavras de amigo e incentivo).
  • Como resultado: aumentando o volume mantendo a vazão, o tempo de residência \tau aumenta, a constante de decaimento \dfrac{1}{\tau} diminui, e a concentração decai mais devagar. Você fez a conta certinha: o tanque passou de 200\\ \mathrm{L} para 400\\ \mathrm{L}, \tau de 50 para 100\\ \mathrm{min}, ou seja, limpeza mais lenta. Isso é intuitivo: mais água para “diluir” exige mais tempo para o sistema escoar e reduzir a concentração.

Resposta

Mais devagar. O tempo de residência passa de \tau=50\\ \mathrm{min} para \tau=100\\ \mathrm{min}, e a exponencial muda de e^{-t/50} para e^{-t/100} (constante de decaimento reduzida de 1/50 para 1/100).

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