Verifique se a função
sen
é solução da equação de condução do calor
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se ela é solução da equação de condução do calor
Informações relevantes que temos:
-
e são constantes (assume-se reais). - A função depende de
e através do produto de uma exponencial em e de em . - A verificação consiste em calcular as derivadas parciais
e e testar se a igualdade da PDE vale para todo (num domínio adequado).
Passo 2
O que significa verificar a solução: precisamos calcular explicitamente as derivadas parciais necessárias e comparar. Além disso, para aplicar derivadas duas vezes em
e uma vez em
precisamos que
seja suficientemente suave; isso ocorre porque
e
são funções
, logo
é
em
e
em
. Portanto podemos proceder a derivar normalmente.
Passo 3
Vamos escrever
como produto de uma função de
e uma de
para facilitar:
Para calcular
usamos a regra da cadeia aplicada a
(pois
é tratada como constante ao derivar em relação a
):
Portanto
Passo 4
Agora calculamos
e
. Ao derivar em
,
é constante e usamos a regra da cadeia na derivada de
:
Assim
Derivando novamente em
(aplicando a regra do produto simples, mas aqui
é constante em
, então só difere
):
Logo
Passo 5
Multiplicando
por
obtemos
Comparando com a expressão encontrada para
no Passo 3, vemos que
Portanto a igualdade da PDE é satisfeita para todo
.
Passo 6
Conclusão prática e rápida: todas as operações foram válidas (função suficientemente suave) e a verificação direta mostra que a função dada satisfaz exatamente a equação do calor. Boa notícia: este tipo de solução é típica (modulação exponencial em
multiplicada por modo senoidal em
) — é uma forma básica usada em separação de variáveis.
Resposta
Sim. Pois
e
, logo
.