Verifique se a função u=e^{-\alpha^{2} k^{2} t} sen k x é solução da equação de condução do calor u_{t}=\alpha^{2} u_{x x}.

Passo 1

O enunciado dá a função
u(x,t)=e^{-\alpha^{2}k^{2}t}\sin(kx)
e pede para verificar se ela é solução da equação de condução do calor
u_{t}=\alpha^{2}u_{xx}.
Informações relevantes que temos:
  • \alpha e k são constantes (assume-se reais).
  • A função depende de x e t através do produto de uma exponencial em t e de \sin(kx) em x.
  • A verificação consiste em calcular as derivadas parciais u_{t} e u_{xx} e testar se a igualdade da PDE vale para todo x,t (num domínio adequado).

Passo 2

O que significa verificar a solução: precisamos calcular explicitamente as derivadas parciais necessárias e comparar. Além disso, para aplicar derivadas duas vezes em x e uma vez em t precisamos que u seja suficientemente suave; isso ocorre porque e^{-\alpha^{2}k^{2}t} e \sin(kx) são funções C^{\infty}, logo u é C^{1} em t e C^{2} em x. Portanto podemos proceder a derivar normalmente.

Passo 3

Vamos escrever u como produto de uma função de t e uma de x para facilitar:
u(x,t)=f(t)\,g(x),\quad\text{onde}\quad f(t)=e^{-\alpha^{2}k^{2}t},\qquad g(x)=\sin(kx).
Para calcular u_{t} usamos a regra da cadeia aplicada a f(t) (pois g(x) é tratada como constante ao derivar em relação a t):
f'(t)=\frac{d}{dt}e^{-\alpha^{2}k^{2}t}=-\alpha^{2}k^{2}e^{-\alpha^{2}k^{2}t}.
Portanto
u_{t}=f'(t)g(x)=-\alpha^{2}k^{2}e^{-\alpha^{2}k^{2}t}\sin(kx).

Passo 4

Agora calculamos u_{x} e u_{xx}. Ao derivar em x, f(t) é constante e usamos a regra da cadeia na derivada de \sin(kx):
\frac{d}{dx}\sin(kx)=k\cos(kx).
Assim
u_{x}=f(t)\,g'(x)=e^{-\alpha^{2}k^{2}t}\cdot k\cos(kx).
Derivando novamente em x (aplicando a regra do produto simples, mas aqui f(t) é constante em x, então só difere k\cos(kx)):
\frac{d}{dx}\bigl(k\cos(kx)\bigr)=k\cdot(-k)\sin(kx)=-k^{2}\sin(kx).
Logo
u_{xx}=e^{-\alpha^{2}k^{2}t}\cdot(-k^{2})\sin(kx)=-k^{2}e^{-\alpha^{2}k^{2}t}\sin(kx).

Passo 5

Multiplicando u_{xx} por \alpha^{2} obtemos
\alpha^{2}u_{xx}=\alpha^{2}\bigl(-k^{2}e^{-\alpha^{2}k^{2}t}\sin(kx)\bigr)=-\alpha^{2}k^{2}e^{-\alpha^{2}k^{2}t}\sin(kx).
Comparando com a expressão encontrada para u_{t} no Passo 3, vemos que
u_{t}=-\alpha^{2}k^{2}e^{-\alpha^{2}k^{2}t}\sin(kx)=\alpha^{2}u_{xx}.
Portanto a igualdade da PDE é satisfeita para todo x,t.

Passo 6

Conclusão prática e rápida: todas as operações foram válidas (função suficientemente suave) e a verificação direta mostra que a função dada satisfaz exatamente a equação do calor. Boa notícia: este tipo de solução é típica (modulação exponencial em t multiplicada por modo senoidal em x) — é uma forma básica usada em separação de variáveis.

Resposta

Sim. Pois u_{t}=-\alpha^{2}k^{2}e^{-\alpha^{2}k^{2}t}\sin(kx) e \alpha^{2}u_{xx}=-\alpha^{2}k^{2}e^{-\alpha^{2}k^{2}t}\sin(kx), logo u_{t}=\alpha^{2}u_{xx}.

Exercícios relacionados