Determine se cada uma das seguintes proposições é uma tautologia, contradição ou contingência:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine se a proposição
é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência.
Informações dadas:
Informações dadas:
Pergunta clara: classificar a fórmula em uma dessas três categorias (tautologia / contradição / contingência).
Passo 2
Antes de calcular, vamos relembrar o que significam os conectivos e como avaliar a implicação:
-
(e): é verdadeiro só quando e são ambos verdadeiros. Caso contrário é falso. -
(ou): é verdadeiro quando pelo menos um entre e é verdadeiro; é falso só quando ambos são falsos. -
(implicação): é falsa somente quando é verdadeiro e é falso; em todas as outras combinações é verdadeira. Vou usar isso para avaliar .
Passo 3
Método: montar a tabela-verdade completa para os dois proposicionais
e
. Existem
combinações possíveis de verdade para
e
. Vou calcular as colunas
,
e finalmente
.
Passo 4
Construção da tabela (uso
= verdadeiro,
= falso):
Agora explico linha a linha como cheguei nesses valores.
Passo 5
Linha 1:
.
-
porque ambos são verdadeiros. -
porque pelo menos um (na verdade ambos) é verdadeiro. - Implicação:
. (Só seria falsa se fosse .)
Passo 6
Linha 2:
.
-
porque é falso (ambos precisam ser verdadeiros). -
porque é verdadeiro. - Implicação:
. (Quando o antecedente é falso, a implicação é verdadeira.)
Passo 7
Linha 3:
.
-
porque é falso. -
porque é verdadeiro. - Implicação:
.
Passo 8
Linha 4:
.
-
porque ambos são falsos. -
porque nenhum é verdadeiro. - Implicação:
. (Novamente, antecedente falso torna a implicação verdadeira.)
Passo 9
Conclusão a partir da tabela-verdade: em todas as
linhas o valor de
é
. Portanto a fórmula é verdadeira para todas as possíveis atribuições de verdade a
e
.
Observação alternativa (intuitiva): sempre que
é verdadeiro então
é verdadeiro (porque a conjunção implica cada conjunção). Se
é verdadeiro então
é verdadeiro. Assim, sempre que o antecedente é verdadeiro o consequente também é — logo a implicação nunca fica falsa. Isso é outra maneira de ver que é uma tautologia.
Resposta
Tautologia.