Determine se cada uma das seguintes proposições é uma tautologia, contradição ou contingência:
(p \wedge q) \rightarrow(p \vee q)

Passo 1

O enunciado pede que eu determine se a proposição (p \wedge q) \rightarrow (p \vee q) é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência.
Informações dadas:
\text{o fórmula: }(p \wedge q) \rightarrow (p \vee q).ó
Pergunta clara: classificar a fórmula em uma dessas três categorias (tautologia / contradição / contingência).

Passo 2

Antes de calcular, vamos relembrar o que significam os conectivos e como avaliar a implicação:
  • \wedge (e): p \wedge q é verdadeiro só quando p e q são ambos verdadeiros. Caso contrário é falso.
  • \vee (ou): p \vee q é verdadeiro quando pelo menos um entre p e q é verdadeiro; é falso só quando ambos são falsos.
  • \rightarrow (implicação): A \rightarrow B é falsa somente quando A é verdadeiro e B é falso; em todas as outras combinações é verdadeira. Vou usar isso para avaliar (p \wedge q) \rightarrow (p \vee q).

Passo 3

Método: montar a tabela-verdade completa para os dois proposicionais p e q. Existem 2^2=4 combinações possíveis de verdade para p e q. Vou calcular as colunas p\wedge q, p\vee q e finalmente (p\wedge q)\rightarrow(p\vee q).

Passo 4

Construção da tabela (uso T = verdadeiro, F = falso):
\begin{array}{c c | c | c | c} p & q & p\wedge q & p\vee q & (p\wedge q)\rightarrow(p\vee q)\\hline T & T & T & T & T\\\ T & F & F & T & T\\\ F & T & F & T & T\\\ F & F & F & F & T \end{array}
Agora explico linha a linha como cheguei nesses valores.

Passo 5

Linha 1: p=T,\;q=T.
  • p\wedge q = T porque ambos são verdadeiros.
  • p\vee q = T porque pelo menos um (na verdade ambos) é verdadeiro.
  • Implicação: T \rightarrow T = T. (Só seria falsa se fosse T \rightarrow F.)

Passo 6

Linha 2: p=T,\;q=F.
  • p\wedge q = F porque q é falso (ambos precisam ser verdadeiros).
  • p\vee q = T porque p é verdadeiro.
  • Implicação: F \rightarrow T = T. (Quando o antecedente é falso, a implicação é verdadeira.)

Passo 7

Linha 3: p=F,\;q=T.
  • p\wedge q = F porque p é falso.
  • p\vee q = T porque q é verdadeiro.
  • Implicação: F \rightarrow T = T.

Passo 8

Linha 4: p=F,\;q=F.
  • p\wedge q = F porque ambos são falsos.
  • p\vee q = F porque nenhum é verdadeiro.
  • Implicação: F \rightarrow F = T. (Novamente, antecedente falso torna a implicação verdadeira.)

Passo 9

Conclusão a partir da tabela-verdade: em todas as 4 linhas o valor de (p\wedge q)\rightarrow(p\vee q) é T. Portanto a fórmula é verdadeira para todas as possíveis atribuições de verdade a p e q.
Observação alternativa (intuitiva): sempre que p\wedge q é verdadeiro então p é verdadeiro (porque a conjunção implica cada conjunção). Se p é verdadeiro então p\vee q é verdadeiro. Assim, sempre que o antecedente é verdadeiro o consequente também é — logo a implicação nunca fica falsa. Isso é outra maneira de ver que é uma tautologia.

Resposta

Tautologia.

Exercícios relacionados