( 2,5 pontos) Calcule a solução do seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
onde
é a função degrau unitário deslocada. Informações relevantes que o enunciado dá:
- As condições iniciais são
e . - O termo à direita é
, ou seja, um pulso de amplitude ativo somente em . - Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento em termos de degraus.]
Passo 2
Por que usar a transformada de Laplace? Vou explicar: como o forçamento está escrito com funções degrau
e temos condições iniciais em
, a transformada de Laplace simplifica bastante — transforma deslocamentos temporais em fatores exponenciais
e transforma derivadas em polinômios em
multiplicando
. Portanto vou aplicar a transformada de Laplace à equação inteira. Lembre-se da fórmula para derivadas:
onde
. Como
e
, as fórmulas vão simplificar.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace à equação:
Usando as fórmulas de derivada e
,
Coloco
em evidência no lado esquerdo:
Fatorando o polinômio:
logo
Passo 4
Nota importante sobre a forma obtida: podemos escrever
onde
Pela propriedade de translação no tempo (teorema do deslocamento): se
, então
. Assim, se encontrarmos
, teremos diretamente
Agora vamos calcular
via frações parciais.
Passo 5
Faço frações parciais para
. Procuro constantes
tais que
Multiplico ambos os lados por
e obtém-se
Avalio em valores convenientes:
- Em
: - Em
: - Em
:
Logo
Passo 6
Agora faço a transformada inversa termo a termo. Lembrando que
e
para
, obtenho
Vou repetir:
é o sinal de resposta ao pulso unitário aplicado em
(mais precisamente à função cuja transformada é
).
Passo 7
Aplico a propriedade do deslocamento que mencionei: como
temos
Substituo
:
Portanto a solução explícita em termos de degrau é
Passo 8
Para visualizar de forma prática (como você verá na prova), apresento
de maneira piecewise (três intervalos naturais:
,
,
).
- Para
: ambos os degraus e são zero, então
- Para
: e , logo
- Para
: , então
Se quiser, pode factorizar exponenciais (por exemplo
para um dos termos), mas a forma acima já é clara e direta de usar em prova.]