Determine se cada sequência abaixo é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente: Indique se a sequência é convergente ou divergente.
sen(n pi)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência an=sin(npi): verificar monotonicidade, limites superior e inferior e convergência.

Passo 2

Sabendo que sin(kpi)=0 para qualquer inteiro k, conclui-se que an=0 para todo n. Assim, todos os termos são iguais a zero, ou seja, a sequência é constante.

Passo 3

Como an+1=an em todos os casos, a sequência é ao mesmo tempo não-decrecente (crescente no sentido amplo) e não-increcente (decrescente no sentido amplo).

Passo 4

Por ser constante em zero, seus termos nunca ultrapassam zero nem ficam abaixo de zero. Logo, ela é limitada superiormente e limitada inferiormente.

Passo 5

Como todos os termos são iguais a 0, o limite limntoinftyan=0. Portanto, a sequência é convergente.

Resposta

A sequência é constante com todos os termos iguais a 0, portanto é monotonicamente crescente e decrescente, é limitada tanto superior quanto inferiormente, e converge para 0.

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