Determine se cada sequência abaixo é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente: Indique se a sequência é convergente ou divergente.
n+4e^2 n

Passo 1

Estamos trabalhando com a sequência an=n+4e^2n. O objetivo é verificar a monotonicidade (crescente, decrescente ou não-monótona), as cotas superior e inferior e se ela converge ou diverge.

Passo 2

Para estudar a monotonicidade, calculamos a razão an+1an:
an+1an=(n+1)+4e^2(n+1)n+4e^2n=n+5n+4cdot e^-2
Note que n+5n+4>1 mas e^-2approx0,135, logo
an+1an
para todo n>=1. Assim an+1, ou seja, a sequência é decrescente.

Passo 3

Como an>0 para todo n, a sequência é limitada inferiormente por 0. Além disso, o maior termo é a1=5e^2, então é limitada superiormente por 5e^2.

Passo 4

Para verificar convergência, note que o denominador cresce exponencialmente enquanto o numerador cresce linearmente. Portanto
limntoinftyan=limntoinftyn+4e^2n=0
Concluímos que a sequência converge para 0.

Resposta

A sequência é decrescente, limitada superiormente e inferiormente, e converge com limite 0.

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