Determine se cada sequência abaixo é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente: Indique se a sequência é convergente ou divergente.
Passo 1
Estamos trabalhando com a sequência
. O objetivo é verificar a monotonicidade (crescente, decrescente ou não-monótona), as cotas superior e inferior e se ela converge ou diverge.
Passo 2
Para estudar a monotonicidade, calculamos a razão
:
Note que
mas
, logo
para todo
. Assim
, ou seja, a sequência é decrescente.
Passo 3
Como
para todo
, a sequência é limitada inferiormente por 0. Além disso, o maior termo é
, então é limitada superiormente por
.
Passo 4
Para verificar convergência, note que o denominador cresce exponencialmente enquanto o numerador cresce linearmente. Portanto
Concluímos que a sequência converge para 0.
Resposta
A sequência é decrescente, limitada superiormente e inferiormente, e converge com limite 0.