Calcule os limites das sequências abaixo e determine se converge ou diverge:
5 n^2n+1

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência an = 5n^2n+1. Esse é um problema de limite de sequências racionais: como o numerador e o denominador são polinômios em n, vamos usar a comparação de graus ou a divisão pelo termo dominante para simplificar.

Passo 2

Para simplificar an, dividimos numerador e denominador pelo maior grau de n que aparece no denominador (grau 1). Assim,
an = 5n^2n+1 = 5n^2/n(n+1)/n = 5n1 + 1n

Passo 3

Agora calculamos o limite. Quando n to +infty, temos tfrac1n to 0, logo
limntoinfty an = limntoinfty 5n1 + tfrac1n = limntoinfty 5n = +infty

Passo 4

Como o limite não é um número finito e vai para +infty, concluímos que a sequência diverge (não converge para um valor real).

Resposta

O limite é +∞, portanto a sequência diverge.

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