Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
a_{n}=(-1)^{n} \frac{n{2}}{1+n{3}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{n^{2}}{1+n^{3}}
e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é limite de sequência envolvendo polinômios e fator alternante. Vamos usar comparação assintótica e o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Observe o valor absoluto de a_{n}:
|a_{n}| = \frac{n^{2}}{1+n^{3}}.
Para todo n\ge1 temos 1+n^{3}\ge n^{3}, logo
|a_{n}|\le \frac{n^{2}}{n^{3}}=\frac1n.

Passo 3

Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac1n = 0.
Pelo Teorema do Confronto, como
-\tfrac1n \le a_{n}\le \tfrac1n
e ambos os limites dos extremos são zero, segue que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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