Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
a_{n}=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_{n} = \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)
determinando se ela converge ou diverge, e, em caso de convergência, calcular seu limite. O conteúdo aqui é comportamento de sequência e identificação de limites (se existirem).

Passo 2

Para ver o comportamento de a_{n}, observamos os valores de n módulo 4, pois \sin tem período 2\pi. Calculamos:
n = 4k \quad\Rightarrow\quad a_{4k} = \sin\!\bigl(2k\pi\bigr) = 0,
n = 4k+1 \quad\Rightarrow\quad a_{4k+1} = \sin\!\bigl(2k\pi + \tfrac{\pi}{2}\bigr) = 1,
n = 4k+2 \quad\Rightarrow\quad a_{4k+2} = \sin\!\bigl(2k\pi + \pi\bigr) = 0,
n = 4k+3 \quad\Rightarrow\quad a_{4k+3} = \sin\!\bigl(2k\pi + \tfrac{3\pi}{2}\bigr) = -1.

Passo 3

Com isso vemos que a sequência produz, sucessivamente, os valores
1,\;0,\;-1,\;0,\;1,\;0,\;-1,\;0,\;\dots
ou seja, não se aproxima de um único número: há subsequências que tendem a 1, outras a -1 e outras a 0.

Passo 4

Como não existe um único valor L tal que todos os termos de a_{n} fiquem arbitrariamente próximos de L para n grande, a sequência não converge.

Resposta

A sequência diverge.

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