Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
(k)\left\{\frac{n!}{(n+2)!}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
\displaystyle a_n = \frac{n!}{(n+2)!}.
O conteúdo é limite de sequência envolvendo fatoriais, e vamos usar a identidade
(n+2)! = (n+2)(n+1)n!.

Passo 2

Simplificando a expressão, temos:
\frac{n!}{(n+2)!} = \frac{n!}{(n+2)(n+1)n!} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}

Passo 3

Para n\to\infty, o produto (n+1)(n+2) cresce sem limite, logo
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)} = 0

Passo 4

Concluímos que a sequência converge e seu limite é 0.

Resposta

A sequência converge e \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+2)!}=0.

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