Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
\left\{a_{n}=n 2^{-n}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da sequência \{a_n\} definida por
a_n = n\,2^{-n},
e, se ela convergir, encontrar \lim_{n\to\infty}a_n. O conteúdo envolvido é critérios de convergência de sequências, em especial o teste da razão, bem como o fato de que a função exponencial cresce mais rápido que a polinomial.

Passo 2

Aplicar o teste da razão, calculando
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)\,2^{-(n+1)}}{n\,2^{-n}} = \frac{n+1}{2\,n}.

Passo 3

Analisar o limite da razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2\,n} = \frac12 < 1.
Como \lim|a_{n+1}/a_n|<1, o teste da razão garante que a_n\to 0.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

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