Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
a_{n}=\left(\frac{n \cos (n)}{n^{2}+1}\right)
a_{n}=\left(\frac{n \cos (n)}{n^{2}+1}\right)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a sequência
e decidir se ela converge ou diverge. Se convergir, queremos achar
. Vamos usar o fato de que
é sempre limitado entre
e
e aplicar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem).
Passo 2
Como sabemos que
multiplicando toda essa desigualdade por
obtemos
Passo 3
Agora dividimos cada termo pela quantidade positiva
, o que preserva as desigualdades:
Ou seja,
Passo 4
Calculamos o limite das extremidades quando
:
Analogamente
Passo 5
Pelo Teorema do Confronto, como
segue que
Resposta
A sequência converge e