Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
a_{n}=\left(\frac{n \cos (n)}{n^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_{n} = \frac{n \cos(n)}{n^{2} + 1}
e decidir se ela converge ou diverge. Se convergir, queremos achar
\lim_{n\to\infty}a_{n}. Vamos usar o fato de que \cos(n) é sempre limitado entre -1 e 1 e aplicar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem).

Passo 2

Como sabemos que
-1 \le \cos(n) \le 1
multiplicando toda essa desigualdade por n\ge0 obtemos
-\,n \;\le\; n\cos(n)\;\le\; n.

Passo 3

Agora dividimos cada termo pela quantidade positiva n^{2}+1, o que preserva as desigualdades:
-\frac{n}{n^{2}+1} \;\le\; \frac{n\cos(n)}{n^{2}+1} \;\le\; \frac{n}{n^{2}+1}.
Ou seja,
-\frac{n}{n^{2}+1} \;\le\; a_{n} \;\le\; \frac{n}{n^{2}+1}.

Passo 4

Calculamos o limite das extremidades quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{2}+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n + 1/n} =0.
Analogamente
\lim_{n\to\infty}-\frac{n}{n^{2}+1}=0.

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, como
-\frac{n}{n^{2}+1}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;0 \quad\text{e}\quad \frac{n}{n^{2}+1}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;0,
segue que
a_{n} = \frac{n\cos(n)}{n^{2}+1} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;0.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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