Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
1 - \tfrac12 + \tfrac14 - \tfrac18 + \cdots
Este é um caso de série geométrica infinita. Vamos usar o critério de convergência para séries geométricas e, se convergir, aplicar a fórmula de soma.

Passo 2

Uma série geométrica infinita tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n
No nosso caso, o primeiro termo é a=1 (quando n=0) e a razão é
r = -\tfrac12,
pois a cada passo multiplicamos por -\tfrac12.

Passo 3

O critério de convergência da série geométrica diz que ela converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Aqui
\lvert r\rvert = \bigl\lvert -\tfrac12\bigr\rvert = \tfrac12 < 1,
logo a série converge.

Passo 4

Quando \lvert r\rvert<1, a soma da série é dada por
S = \frac{a}{1 - r}.
Substituindo a=1 e r=-\tfrac12, obtemos
S = \frac{1}{1 - \bigl(-\tfrac12\bigr)} = \frac{1}{1 + \tfrac12} = \frac{1}{\tfrac32} = \tfrac23.

Resposta

A série converge e sua soma é \tfrac23.

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