Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
a_{n}=\frac{1}{n{2}}+\frac{2}{n{2}}+···+\frac{n}{n^{2}}
a_{n}=\frac{1}{n{2}}+\frac{2}{n{2}}+···+\frac{n}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Como é uma soma de termos que dependem de
, vamos reconhecer essa soma como a soma dos primeiros
inteiros dividida por
e então estudar o limite quando
.
Passo 2
Usamos a fórmula conhecida para a soma dos primeiros
inteiros:
Passo 3
Substituindo na definição de
, temos
Passo 4
Para estudar a convergência, calculamos
Resposta
A sequência converge e seu limite é
.