Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
a_{n}=\frac{1}{n{2}}+\frac{2}{n{2}}+···+\frac{n}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + \cdots + \frac{n}{n^{2}}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Como é uma soma de termos que dependem de n, vamos reconhecer essa soma como a soma dos primeiros n inteiros dividida por n^2 e então estudar o limite quando n\to\infty.

Passo 2

Usamos a fórmula conhecida para a soma dos primeiros n inteiros:
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}.

Passo 3

Substituindo na definição de a_{n}, temos
a_{n} = \frac{1+2+\cdots+n}{n^{2}} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^{2}} = \frac{n(n+1)}{2\,n^{2}} = \frac{n+1}{2\,n}.

Passo 4

Para estudar a convergência, calculamos
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2\,n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2\,n} + \frac{1}{2\,n} = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}.

Resposta

A sequência converge e seu limite é \tfrac{1}{2}.

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