Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
a_{n}=n^{-\frac{1}{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n}=n^{-\frac{1}{n}}
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, achar o seu limite. Esse é um problema de limites de sequência, e aqui vamos usar logaritmo e exponencial para facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Como a_{n}>0 para todo n, podemos escrever
a_{n}=e^{\ln(a_{n})}.
Calculando o logaritmo,
\ln(a_{n})=\ln\bigl(n^{-\frac{1}{n}}\bigr)=-\frac{1}{n}\,\ln(n).

Passo 3

Precisamos agora analisar
\lim_{n\to\infty}\ln(a_{n}) =\lim_{n\to\infty}\Bigl(-\frac{\ln(n)}{n}\Bigr).
Como \ln(n) cresce muito mais devagar que n, vale o conhecido resultado
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}=0,
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\lim_{n\to\infty}\ln(a_{n})=0.

Passo 4

A função exponencial é contínua, então
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}e^{\ln(a_{n})} =e^{\lim_{n\to\infty}\ln(a_{n})} =e^{0} =1.
Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência \displaystyle a_{n}=n^{-\frac{1}{n}} converge e seu limite é 1.

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