Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
a_{n}=n^{-\frac{1}{n}}
a_{n}=n^{-\frac{1}{n}}
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, achar o seu limite. Esse é um problema de limites de sequência, e aqui vamos usar logaritmo e exponencial para facilitar o cálculo do limite.
Passo 2
Como
para todo
, podemos escrever
Calculando o logaritmo,
Passo 3
Precisamos agora analisar
Como
cresce muito mais devagar que
, vale o conhecido resultado
logo
Passo 4
A função exponencial é contínua, então
Portanto, a sequência converge.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é
.