Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
\quad a_{n}=\frac{(-1)^{n-1} n^{4}}{1+n^{2}+n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
a_{n}=\frac{(-1)^{n-1}n^{4}}{1+n^{2}+n^{3}}
e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo envolvido é análise de limites de sequências, usando comparação de termos de maior grau em n.

Passo 2

Para entender o comportamento para n\to\infty, vamos fatorar a maior potência de n no denominador, que é n^{3}:
1+n^{2}+n^{3} = n^{3}\Bigl(\tfrac{1}{n^{3}}+\tfrac{1}{n}+1\Bigr).
Substituindo em a_{n}, obtemos
a_{n} = \frac{(-1)^{n-1}n^{4}}{n^{3}\bigl(\tfrac{1}{n^{3}}+\tfrac{1}{n}+1\bigr)} = \frac{(-1)^{n-1}\,n}{\tfrac{1}{n^{3}}+\tfrac{1}{n}+1} = (-1)^{n-1}\,\frac{n}{1+\tfrac{1}{n}+\tfrac{1}{n^{3}}}.

Passo 3

Agora analisamos o limite de cada parte quando n\to\infty:
  • \tfrac{1}{n}\to0 e \tfrac{1}{n^{3}}\to0, logo o denominador \bigl(1+\tfrac{1}{n}+\tfrac{1}{n^{3}}\bigr)\to1.
  • O fator n no numerador cresce sem limite.
  • O sinal (-1)^{n-1} apenas faz oscilar entre +1 e -1.

Passo 4

Portanto
\bigl|a_{n}\bigr| =\frac{n}{1+\tfrac{1}{n}+\tfrac{1}{n^{3}}} \longrightarrow\infty \quad\text{quando }n\to\infty.
Como o módulo de a_{n} tende a infinito, a sequência não pode convergir para nenhum número finito. Além disso, um teste necessário para convergência é que a_{n}\to0, o que aqui falha, pois \lvert a_{n}\rvert\to\infty.

Resposta

A sequência diverge.

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