Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{3(n+1)(n+2)}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{3\,(n+1)(n+2)}
e, caso ela seja convergente, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é o teste do termo geral para série infinita.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento do termo geral
a_{n} = \frac{n^{2}}{3\,(n+1)(n+2)}.
Para isso, calculamos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{3\bigl(n^{2}+3n+2\bigr)} =\frac{1}{3}\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+3n+2} =\frac{1}{3}\,.

Passo 3

O teste do termo geral diz que, se
\lim_{n\to\infty}a_{n}\neq0,
então a série \sum a_{n} diverge. Aqui encontramos
\lim_{n\to\infty}a_{n}=1/3\neq0,
logo a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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