Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right)-\operatorname{sen}\left(\frac{1}{n+1}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)-\sin\bigl(\tfrac{1}{n+1}\bigr)\Bigr].
O conteúdo envolvido é “séries telescópicas” e vamos usar o cálculo da soma parcial e o limite dessa soma.

Passo 2

Definimos a soma parcial S_{N} como
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\Bigl[\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)-\sin\bigl(\tfrac{1}{n+1}\bigr)\Bigr].
Escrevendo os primeiros termos vemos o cancelamento sucessivo:
S_{N}=\bigl[\sin(1)-\sin(\tfrac12)\bigr] +\bigl[\sin(\tfrac12)-\sin(\tfrac13)\bigr] +\cdots +\bigl[\sin(\tfrac{1}{N})-\sin(\tfrac{1}{N+1})\bigr].

Passo 3

Observe que tudo cancela, sobrando
S_{N}=\sin(1)-\sin\bigl(\tfrac{1}{N+1}\bigr).
Para concluir, tomamos o limite quando N\to\infty. Como \tfrac{1}{N+1}\to0 e \sin(0)=0,
\lim_{N\to\infty}S_{N} =\sin(1)-0 =\sin(1).

Resposta

A série converge e sua soma é \sin(1).

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