Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n+1}}{5^{n}}\
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n+1}}{5^{n}}
e, caso ela seja convergente, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer uma série geométrica e usar o critério \lvert r\rvert<1 para convergência e a fórmula da soma dessa série.
Passo 2
Reescrevemos o termo geral para evidenciar a forma geométrica:
Para uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}r^{n}, o critério de convergência é \lvert r\rvert<1.
Aqui r=\tfrac{4}{5} e \bigl\lvert\tfrac{4}{5}\bigr\rvert=0,8<1.
Portanto a série converge.