Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{e^{2 n}}\

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{2n}}.
Esse é um caso clássico de série geométrica, então vamos usar o critério de convergência de séries geométricas e a fórmula de soma quando a razão satisfaz |r|<1.

Passo 2

Vamos identificar o primeiro termo a e a razão r. Note que
\frac{1}{e^{2n}} = a\,r^{\,n-1}
com
a = \frac{1}{e^2}, \quad r = \frac{1}{e^2},
pois
\frac{1/e^{2(n+1)}}{1/e^{2n}} = \frac{1}{e^2}.

Passo 3

O critério de convergência para série geométrica diz que ela converge se, e somente se, |r|<1. Aqui
|r| = \frac{1}{e^2} < 1,
portanto a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica convergente é
S = \frac{a}{1 - r}.
Substituindo a = \tfrac{1}{e^2} e r = \tfrac{1}{e^2}, obtemos
S = \frac{\tfrac{1}{e^2}}{1 - \tfrac{1}{e^2}} = \frac{1}{e^2 - 1}.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{2n}} = \frac{1}{e^2 - 1}.

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