Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n+1}}{5^{n}}\

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n+1}}{5^{n}}
e, caso ela seja convergente, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer uma série geométrica e usar o critério \lvert r\rvert<1 para convergência e a fórmula da soma dessa série.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral para evidenciar a forma geométrica:
\frac{4^{n+1}}{5^{n}} =4\cdot\frac{4^{n}}{5^{n}} =4\biggl(\frac{4}{5}\biggr)^{n}.
Logo a série original fica
\sum_{n=1}^{\infty}4\biggl(\frac{4}{5}\biggr)^{n} =4\sum_{n=1}^{\infty}\biggl(\frac{4}{5}\biggr)^{n}.

Passo 3

Para uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}r^{n}, o critério de convergência é \lvert r\rvert<1.
Aqui r=\tfrac{4}{5} e \bigl\lvert\tfrac{4}{5}\bigr\rvert=0,8<1.
Portanto a série converge.

Passo 4

A soma da série geométrica que começa em n=1 é
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Multiplicando por 4, obtemos
4\sum_{n=1}^{\infty}\biggl(\frac{4}{5}\biggr)^{n} =4\cdot\frac{\tfrac{4}{5}}{1-\tfrac{4}{5}} =4\cdot\frac{\tfrac{4}{5}}{\tfrac{1}{5}} =4\cdot4 =16.

Resposta

A série converge e sua soma é 16.

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