Determine se cada um dos sistemas a seguir é BIBO estável ou BIBO instável:
b) y(t)=t^-5 x(t-5)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente descobrir se o sistema
y(t)=t^-5,x(t-5)
é BIBO estável ou instável.
Isso cai na matéria de estabilidade BIBO (Bounded-Input, Bounded-Output): um sistema é BIBO estável se, para toda entrada limitada |x(t)|<= Mx, a saída também ficar limitada |y(t)|<= My.
Pra resolver, a gente vai:
  1. lembrar a definição de BIBO estabilidade;
  2. aplicar essa definição ao nosso y(t);
    3) ver se sai um limite finito ou não.

Passo 2

Definição de BIBO estabilidade (do zero):
Um sistema é BIBO estável se, sempre que
|x(t)|<= Mx
então a saída satisfaz
|y(t)|<= My
ou seja, toda entrada limitada gera saída limitada.

Passo 3

Agora olha o nosso sistema:
y(t)=t^-5,x(t-5)
Se |x(t)|<= Mx, então substituindo na fórmula:
|y(t)|=|t^-5|;l|x(t-5)r|<= |t^-5|;Mx = Mx|t|^5

Passo 4

A gente precisa ver se existe um My tal que
|y(t)|<= My
Mas repare que, quando tto 0, a expressão
Mx|t|^5
explodirá para infinito. Mesmo com x bem comportada e limitada, em torno de t=0 o fator t^-5 vai mandar a saída para valores arbitrariamente grandes. Logo não dá pra achar um limite My que funcione para todo t.

Resposta

O sistema é BIBO instável.

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