Determine se cada um dos sistemas a seguir é BIBO estável ou BIBO instável:
d)
d)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente descobrir se o sistema
y(t)=d/dt [x(t/3)]
é BIBO estável ou não.
Conteúdo: definição de estabilidade BIBO (Bounded‐Input, Bounded‐Output).
O que vamos precisar:
y(t)=d/dt [x(t/3)]
é BIBO estável ou não.
Conteúdo: definição de estabilidade BIBO (Bounded‐Input, Bounded‐Output).
O que vamos precisar:
- Saber que “BIBO estável” significa “se a entrada x(t) está limitada (|x(t)|≤M<∞), então a saída y(t) também fica limitada.”
- Entender como a operação de derivar afeta essa limitação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a saída de forma mais clara:
y(t)=d/dt [x(t/3)]
Usando a regra da cadeia:
y(t)=d/dt [x(t/3)]
Usando a regra da cadeia:
$$y(t)=\frac{d}{dt},x\bigl(\tfrac t3\bigr)
=\frac{1}{3},x’\bigl(\tfrac t3\bigr),. $$
Passo 3
Agora, se assumirmos que a entrada x(t) é limitada, existem M>0 tal que |x(t)|≤M para todo t.
Daí |x(t/3)|≤M também, porque trocar t por t/3 não muda o teto M.
Daí |x(t/3)|≤M também, porque trocar t por t/3 não muda o teto M.
Passo 4
O ponto crítico é: saber que x(t) é limitada não garante que sua derivada x′(t) seja limitada.
Em teoria de sinais, a derivada é um operador “não‐limitado” de L∞→L∞, ou seja, mesmo que |x(t)|≤M, podemos ter |x′(t)| arbitrariamente grande (ou até não existir em certos pontos).
Como y(t)=(1/3)x′(t/3), não há como mostrar um M_y finito que sirva para todo |y(t)|. Em outras palavras, não conseguimos provar que |y(t)|≤M_y<∞ para todo t e toda função x limitada.
Em teoria de sinais, a derivada é um operador “não‐limitado” de L∞→L∞, ou seja, mesmo que |x(t)|≤M, podemos ter |x′(t)| arbitrariamente grande (ou até não existir em certos pontos).
Como y(t)=(1/3)x′(t/3), não há como mostrar um M_y finito que sirva para todo |y(t)|. Em outras palavras, não conseguimos provar que |y(t)|≤M_y<∞ para todo t e toda função x limitada.
Passo 5
Logo, existe pelo menos um x(t) limitado cuja derivada explode em algum ponto, o que faz y(t) ficar ilimitado.
Isso já basta para concluir que o sistema não é BIBO estável.
Isso já basta para concluir que o sistema não é BIBO estável.
Resposta
O sistema é BIBO instável.