Determine se cada um dos sistemas a seguir é BIBO estável ou BIBO instável:
a) y(t)=x(t-2)+x(2-t)

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente descobrir se o sistema
y(t)=x(t-2)+x(2-t)
é BIBO estável ou não. Isso faz parte de “Estabilidade de Sistemas” em sinais e sistemas, e o que a gente vai usar é a definição de BIBO estabilidade: “Se todo sinal de entrada limitado gera uma saída limitada, o sistema é BIBO estável.”

Passo 2

Antes de tudo, lembre que “entrada limitada” significa que existe um número |x(t)| <= Mforall,t tal que
E “saída limitada” quer dizer que também fica abaixo de algum valor finito para todo . Nosso job é mostrar que, se , então também fica limitada por algum número (pode até ser , tudo bem).

Passo 3

Agora olha o sinal de saída:
y(t)=x(t-2)+x(2-t)
Para qualquer instância de tempo , quem garante é a hipótese de que para todo .

Passo 4

Então faremos:
|y(t)| = |,x(t-2) + x(2-t),|
Usando a desigualdade triangular (que diz |y(t)| <= |x(t-2)| + |x(2-t)| ), vem

Passo 5

Mas como assumimos |x(t-2)| <= M e |x(2-t)| <= M , substituímos:
|y(t)| <= M + M = 2M
Logo
Ou seja, para todo , nunca passa de .

Resposta

O sistema é BIBO estável, pois para qualquer entrada limitada , a saída também fica limitada por .

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