Determine se cada um dos sistemas a seguir é:
I. linear ou não linear;
II. invariante no tempo ou variante no tempo;
III. instantâneo (sem memória) ou dinâmico (com memória);
IV. causal ou não causal.
c) y(t)=cos (3 t) x(t)

Passo 1

Beleza, temos o sistema
y(t) = cos(3t),x(t)
O que a gente vai fazer aqui é classificar em quatro quesitos:
I. linear ou não linear;
II. invariante no tempo ou variante no tempo;
III. instantâneo (sem memória) ou dinâmico (com memória);
IV. causal ou não causal.
Para isso, precisamos lembrar das definições:
  • Linearidade envolve aditividade e homogeneidade.
  • Invariância no tempo checa se um atraso na entrada causa o mesmo atraso na saída.
  • Sistema instantâneo só “olha” para no mesmo instante .
  • Sistema causal só depende de para .

Passo 2

Teste de linearidade:
  1. Aditividade:
    • Pegamos duas entradas y = cos(3t),[x1(t)+x2(t)] = cos(3t)x1(t) + cos(3t)x2(t) e y = cos(3t),[alpha,x(t)] = alpha,[cos(3t)x(t)] = alpha,y(t) .
    • A saída para é
    • Isso é exatamente .
  2. Homogeneidade:
    • Se escalonarmos a entrada por , temos
Concluímos que o sistema satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.

Passo 3

Teste de invariância no tempo:
  • Se atrasamos a entrada em y1(t) = cos(3t),x(t-t0) , a gente manda y(t-t0) = cosl(3(t-t0)r),x(t-t0) = cos(3t - 3t0),x(t-t0) .
  • A saída fica
  • Agora, retorna a saída original atrasada:
Como não é igual a em geral, o atraso na entrada não vira o mesmo atraso na saída.
Logo, o sistema é variante no tempo.

Passo 4

Teste de memória:
  • Um sistema é instantâneo (sem memória) se depende só de naquele mesmo .
  • Aqui usa apenas em .
    Então o sistema é instantâneo, ou seja, sem memória.

Passo 5

Teste de causalidade:
  • Um sistema é causal se, para calcular , você só precisa de valores de com .
  • Aqui depende só de .
    Portanto, ele é causal.

Resposta

O sistema é:
I. Linear;
II. Variante no tempo;
III. Instantâneo (sem memória);
IV. Causal.

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