Determine se cada um dos sistemas a seguir é BIBO estável ou BIBO instável:
c) y(t)=cos (3 t) x(t)

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente verificar se o sistema
y(t) = cos(3t),x(t)
é BIBO estável ou não. Isso faz parte do assunto de estabilidade BIBO (Bounded-Input, Bounded-Output).
O que vamos precisar:
  • A definição de BIBO estabilidade: “um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada gera uma saída também limitada.”
  • Saber que é uma função limitada (ou seja, ela nunca “explode”).

Passo 2

Definição de BIBO estabilidade (explicando tudinho):
Um sistema é BIBO estável se, para todo sinal de entrada |x(t)| <= M < infty tal que
|y(t)| <= N < infty
para todo , a saída também satisfaz
para algum e para todo .
Em palavras, “entrada limitada → saída limitada”.

Passo 3

Agora aplica isso ao nosso caso. Temos
y(t) = cos(3t),x(t)
  1. Suponha que |x(t)| <= M, forall,t seja limitada, ou seja, existe uma constante |cos(3t)| <= 1, forall,t tal que |y(t)| = |cos(3t),x(t)| = |cos(3t)|;|x(t)| <= 1 cdot M = M
  2. Sabemos que é sempre um número entre e . Logo,
  3. Então, pegamos o módulo de : Isso mostra que, se é limitada por , também fica limitada por .

Resposta

O sistema é BIBO estável, pois o fator não faz o sinal “explodir” e mantém a saída limitada sempre que a entrada for limitada.

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