Determine se cada um dos sistemas a seguir é:
I. linear ou não linear;
II. invariante no tempo ou variante no tempo;
III. instantâneo (sem memória) ou dinâmico (com memória);
IV. causal ou não causal.
d) y(t)=x(t / 3)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente classificar o sistema
y(t)=x(t/3)
em quatro quesitos:
I. linearidade;
II. invariância no tempo;
III. instantaneidade (sem memória) ou dinamicidade (com memória);
IV. causalidade.
Vamos usar conceitos básicos de sinais e sistemas: definição de sistema linear (superposição), definição de sistema invariante no tempo (efeito de um deslocamento no tempo do sinal de entrada), memória (se depende só do instante t ou de outros instantes) e causalidade (se para computar y(t) precisamos de valores de x(τ) só para τ≤t).

Passo 2

Verificando linearidade
Um sistema é linear se vale superposição e homogeneidade.
Ou seja, para dois sinais x₁(t), x₂(t) e constantes a, b temos de ter
y[a·x₁(t) + b·x₂(t)] = a·y[x₁(t)] + b·y[x₂(t)].
No nosso caso:
ya·x₁ + b·x₂ = (a·x₁ + b·x₂)(t/3) = a·x₁(t/3) + b·x₂(t/3)
e isso é exatamente a·y₁(t) + b·y₂(t).
Logo, o sistema é linear.

Passo 3

Verificando invariância no tempo
Um sistema é invariante no tempo se, ao atrasar o sinal de entrada em t₀, a saída atrasar em t₀ do mesmo jeito.
  1. Atraso na entrada: x₁(t) = x(t – t₀).
  2. Saída correspondente:
    y₁(t) = x₁(t/3) = x(t/3 – t₀).
  3. Agora atrasar a saída original y(t)=x(t/3) em t₀:
    y(t – t₀) = x((t – t₀)/3).
    Como x(t/3 – t₀) ≠ x((t – t₀)/3) em geral, o sistema NÃO é invariante no tempo.

Passo 4

Verificando memória (instantâneo vs. dinâmico)
  • Instantâneo (sem memória) significa que y(t) depende só de x avaliado em t, isto é x(t).
  • Aqui y(t)=x(t/3) depende de x num instante diferente de t (é t/3).
    Portanto o sistema tem memória (é dinâmico).

Passo 5

Verificando causalidade
Um sistema é causal se, para calcular y(t₀), a gente só precisa de x(τ) com τ≤t₀.
No nosso caso y(t₀)=x(t₀/3).
Para t₀ positivo vale t₀/3 ≤ t₀, mas se t₀ for negativo (por exemplo t₀=–6), t₀/3=–2 > –6, ou seja precisaríamos de valores “futuros” de x em relação a t₀.
Logo, o sistema é NÃO CAUSAL.

Resposta

I. Linear
II. Variante no tempo
III. Dinâmico (com memória)
IV. Não causal

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