Um trenó é empurrado em uma superfície sem atrito. Trataremos a força f(t) que empurra o trenó como sendo a entrada de um sistema, e a velocidade v(t) do trenó como sendo a saída do sistema. O sistema é linear e a relação entre entrada e saída pode ser descrita pela seguinte equação:
v(t)=1m integral-infty^t f(tau) d tau=v(0)+1m integral0^t f(tau) d tau
A massa m do trenó é de 100 kg . Encontre expressões para:
a) a resposta à entrada nula, considerando que a velocidade no instante inicial t=0 é de 1 m / s;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de um trenó sendo empurrado numa superfície sem atrito. A força que empurra o trenó é a entrada do sistema, e a velocidade do trenó é a saída. A equação que relaciona essas duas coisas é:
v(t) = 1m integral-infty^t f(tau) d tau = v(0) + 1m integral0^t f(tau) d tau
Aqui, a massa do trenó é de 100 kg. Precisamos encontrar a resposta do sistema quando a força de entrada é nula (ou seja, $ f(t) = 0 $) e a velocidade inicial $ v(0) $ é 1 m/s.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é “resposta à entrada nula”. Isso significa que a força externa $ f(t) $ que está empurrando o trenó é zero para todo o tempo $ t $. Então, o trenó não está sendo empurrado mais, mas ele já estava se movendo com uma velocidade inicial.

Passo 3

Vamos aplicar $ f(t) = 0 $ na equação dada:
f(t) = 0
Como a integral de zero é zero, a equação simplifica para:
v(t) = v(0) + 1m integral0^t 0 , dtau
Isso significa que a velocidade do trenó permanece constante ao longo do tempo, já que não há nenhuma força atuando para mudar essa velocidade.

Passo 4

Sabendo que $ v(0) = 1 , m/s $, substituímos na equação:
v(0) = 1 , m/s
Então, independentemente do tempo que passe, a velocidade do trenó continua sendo 1 m/s.

Resposta

A resposta do sistema com entrada nula é $ v(t) = 1 , m/s $.

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