Determine se cada um dos sistemas a seguir é invertível ou não invertível. Se for invertível, determine o sistema inverso correspondente.
b) y(t)=cos (x(t))

Passo 1

Beleza, o exercício diz: “Determine se o sistema
y(t)=cosl(x(t)r)
é invertível ou não, e se for, ache o inverso.”
Isso é conteúdo de sinais e sistemas, mais especificamente sobre invertibilidade de sistemas. Vamos precisar saber que um sistema é invertível se, pra cada saída , existe uma única entrada que gerou essa saída.

Passo 2

Para ver se um sistema é invertível, a gente precisa checar se ele é injeção (função injetora): ou seja, se duas entradas diferentes jamais dão a mesma saída.
  • Teoria rápida: uma função é injetora se, sempre que , a gente tem .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: cos(x)=cos(x+2pi n)para todo inteiro n. A gente sabe da trigonometria que

Isso significa que, por exemplo,
- e são diferentes, mas
- e .
Logo não é injetora no conjunto dos reais, porque vários valores de dão a mesma saída.

Resposta

O sistema não é invertível, pois não é injetora em . Não existe sistema inverso único.

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