Determine se cada um dos sistemas a seguir é invertível ou não invertível. Se for invertível, determine o sistema inverso correspondente.
a) y(t)=x(t-4)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos o sistema . Queremos ver se ele é invertível e, se for, achar o sistema inverso.”
Conteúdo da matéria: conceito de invertibilidade de sistemas e propriedades de deslocamento no tempo. Vamos precisar saber que um sistema é invertível se existe outro que, aplicado à saída, recupera a entrada original. Também vamos usar a ideia de time shift (atraso/avanço).

Passo 2

O que é invertibilidade?
Um sistema T^-1l[T[x(t)]r] = x(t), é invertível se existe um outro sistema tal que, para qualquer sinal de entrada , a gente tenha
Ou seja, depois de passar pelo sistema e pelo inverso, voltamos ao sinal original.

Passo 3

No nosso caso x(t);=;T^-1[y(t)] ;=; y(t+4), faz , ou seja, atrasa o sinal em 4 unidades de tempo. Pensando em inverter isso, basta avançar o sinal em 4 unidades para “compensar” o atraso. Logo, a proposta de inverso é
Isso significa: pega e desloca 4 unidades para a esquerda (avança no tempo).

Passo 4

Vamos checar que funciona:
  1. Começamos com T^-1[y(t)] ;=; y(t+4);=;xl((t+4)-4r);=;x(t) .
  2. Aplicamos : fica .
  3. Agora aplicamos :
Pronto, recuperamos .

Resposta

O sistema é invertível e seu inverso é
T^-1: x(t)=y(t+4)

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