Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), explique com razões quais dos sistemas são sistemas com parâmetros invariantes no tempo e quais são sistemas com parâmetros variantes no tempo.
© y(t)=x(a t)

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema descrito por
y(t)=x(a,t)
O que a questão quer saber é se esse sistema é invariante no tempo ou variante no tempo.
Conteúdo: teoria de Sistemas LTI (mais especificamente, propriedade de invariância em relação ao tempo).
O que vamos precisar: a definição de sistema invariante no tempo e o “teste do deslocamento” (input deslocado x(t–t₀) versus output deslocado y(t–t₀)).

Passo 2

Primeiro, o que é “invariância no tempo”?
Se um sistema é invariante no tempo, então deslocar a entrada no tempo gera exatamente o mesmo deslocamento na saída. Formalmente, para todo deslocamento t₀:
  1. Definimos uma entrada deslocada: .
  2. Aplicamos o sistema e obtemos .
  3. Comparamos com o sinal original deslocado na saída: , onde .
    Se para todo t₀, o sistema é invariante no tempo. Caso contrário, é variante.

Passo 3

Vamos aplicar esse teste ao nosso sistema y(t)=x(a,t).
  1. Entrada original: y1(t)=Tx1(t) = x1(a,t) = xl(a,t - t0r) → saída original: y(t-t0) = xl(a,(t-t0)r) = xl(a,t - a,t0r)
  2. Entrada deslocada: y1(t)=xl(a,t - t0r)versus y(t-t0)=xl(a,t - a,t0r).
    Aí a saída será a,t - t0 = a,t - a,t0forall t,t0,
  3. Agora o sinal deslocado em t₀:
  4. Comparação: Para serem iguais, precisaríamos que ou seja, . Isso só ocorre para todo t₀ se .

Resposta

O sistema é invariante no tempo apenas no caso trivial . Para qualquer outro valor de , ele é um sistema variante no tempo.

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