Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada
e saída
, explique com razões quais dos sistemas são sistemas com parâmetros invariantes no tempo e quais são sistemas com parâmetros variantes no tempo.
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Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um sistema descrito por
O que a questão quer saber é se esse sistema é invariante no tempo ou variante no tempo.
Conteúdo: teoria de Sistemas LTI (mais especificamente, propriedade de invariância em relação ao tempo).
O que vamos precisar: a definição de sistema invariante no tempo e o “teste do deslocamento” (input deslocado x(t–t₀) versus output deslocado y(t–t₀)).
Conteúdo: teoria de Sistemas LTI (mais especificamente, propriedade de invariância em relação ao tempo).
O que vamos precisar: a definição de sistema invariante no tempo e o “teste do deslocamento” (input deslocado x(t–t₀) versus output deslocado y(t–t₀)).
Passo 2
Primeiro, o que é “invariância no tempo”?
Se um sistema é invariante no tempo, então deslocar a entrada no tempo gera exatamente o mesmo deslocamento na saída. Formalmente, para todo deslocamento t₀:
Se um sistema é invariante no tempo, então deslocar a entrada no tempo gera exatamente o mesmo deslocamento na saída. Formalmente, para todo deslocamento t₀:
- Definimos uma entrada deslocada:
. - Aplicamos o sistema e obtemos
. - Comparamos com o sinal original deslocado na saída:
, onde .
Separa todo t₀, o sistema é invariante no tempo. Caso contrário, é variante.
Passo 3
Vamos aplicar esse teste ao nosso sistema
.
- Entrada original:
→ saída original: - Entrada deslocada:
.
Aí a saída será - Agora o sinal
deslocado em t₀: - Comparação:
Para serem iguais, precisaríamos que ou seja, . Isso só ocorre para todo t₀ se .
Resposta
O sistema
é invariante no tempo apenas no caso trivial
. Para qualquer outro valor de
, ele é um sistema variante no tempo.