Determine se cada um dos sistemas a seguir é:
I. linear ou não linear;
II. invariante no tempo ou variante no tempo;
III. instantâneo (sem memória) ou dinâmico (com memória);
IV. causal ou não causal.
b)
I. linear ou não linear;
II. invariante no tempo ou variante no tempo;
III. instantâneo (sem memória) ou dinâmico (com memória);
IV. causal ou não causal.
b)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente analisar o sistema
y(t) = cos (3 x(t))
em quatro quesitos:
I. linearidade;
II. invariância no tempo;
III. memória (instantâneo ou dinâmico);
IV. causalidade.
y(t) = cos (3 x(t))
em quatro quesitos:
I. linearidade;
II. invariância no tempo;
III. memória (instantâneo ou dinâmico);
IV. causalidade.
O conteúdo é Análise de Sistemas: entender definição de sistema linear (superposição), sistema invariante ao tempo, sistemas com ou sem memória e sistemas causais. Pra resolver, vamos usar as definições formais dessas propriedades e aplicar ao nosso caso.
Passo 2
Verificando linearidade
– Um sistema é linear se, para quaisquer sinais x₁(t), x₂(t) e constantes a, b, a saída obedece
T{a x₁(t) + b x₂(t)} = a T{x₁(t)} + b T{x₂(t)}.
– Aqui T{x(t)} = cos(3 x(t)).
– Um sistema é linear se, para quaisquer sinais x₁(t), x₂(t) e constantes a, b, a saída obedece
T{a x₁(t) + b x₂(t)} = a T{x₁(t)} + b T{x₂(t)}.
– Aqui T{x(t)} = cos(3 x(t)).
Suponha entrada a x₁(t) + b x₂(t):
T{a x₁ + b x₂} = cos[3 (a x₁(t) + b x₂(t))]
= cos[3a x₁(t) + 3b x₂(t)]
T{a x₁ + b x₂} = cos[3 (a x₁(t) + b x₂(t))]
= cos[3a x₁(t) + 3b x₂(t)]
Já a T{x₁} + b T{x₂} = a cos(3 x₁(t)) + b cos(3 x₂(t)).
Em geral
cos(3a x₁ + 3b x₂) ≠ a cos(3 x₁) + b cos(3 x₂).
cos(3a x₁ + 3b x₂) ≠ a cos(3 x₁) + b cos(3 x₂).
Logo não satisfaz superposição → NÃO é linear.
Passo 3
Verificando invariância no tempo
– Um sistema é invariante se deslocar a entrada no tempo desloca a saída do mesmo jeito.
– Seja x₁(t) → y₁(t) = cos[3 x₁(t)].
– Defina x₂(t) = x₁(t – t₀). Então:
y₂(t) = cos[3 x₂(t)] = cos[3 x₁(t – t₀)].
Por outro lado, y₁(t – t₀) = cos[3 x₁((t – t₀))].
– Um sistema é invariante se deslocar a entrada no tempo desloca a saída do mesmo jeito.
– Seja x₁(t) → y₁(t) = cos[3 x₁(t)].
– Defina x₂(t) = x₁(t – t₀). Então:
y₂(t) = cos[3 x₂(t)] = cos[3 x₁(t – t₀)].
Por outro lado, y₁(t – t₀) = cos[3 x₁((t – t₀))].
Como y₂(t) = y₁(t – t₀) para todo t, o sistema é INVARIANTE NO TEMPO.
Passo 4
Verificando memória
– Sistema instantâneo (sem memória) só usa x(t) pra calcular y(t); sistema dinâmico (com memória) usa valores passados/futuros de x.
– Aqui y(t) = cos(3 x(t)) só depende de x no mesmo instante t, não de x(t–τ) ou x(t+τ).
– Sistema instantâneo (sem memória) só usa x(t) pra calcular y(t); sistema dinâmico (com memória) usa valores passados/futuros de x.
– Aqui y(t) = cos(3 x(t)) só depende de x no mesmo instante t, não de x(t–τ) ou x(t+τ).
Portanto é SISTEMA INSTANTÂNEO (SEM MEMÓRIA).
Passo 5
Verificando causalidade
– Sistema causal diz que y(t₀) depende só de x(t) para t ≤ t₀.
– Nosso y(t) só precisa de x(t) no MESMO instante, nunca de valores futuros x(t+Δ).
– Sistema causal diz que y(t₀) depende só de x(t) para t ≤ t₀.
– Nosso y(t) só precisa de x(t) no MESMO instante, nunca de valores futuros x(t+Δ).
Logo é UM SISTEMA CAUSAL.
Resposta
I. Não linear
II. Invariante no tempo
III. Instantâneo (sem memória)
IV. Causal
II. Invariante no tempo
III. Instantâneo (sem memória)
IV. Causal