Um trenó é empurrado em uma superfície sem atrito. Trataremos a força f(t) que empurra o trenó como sendo a entrada de um sistema, e a velocidade v(t) do trenó como sendo a saída do sistema. O sistema é linear e a relação entre entrada e saída pode ser descrita pela seguinte equação:
v(t)=1m integral-infty^t f(tau) d tau=v(0)+1m integral0^t f(tau) d tau
A massa m do trenó é de 100 kg . Encontre expressões para:
b) a resposta em estado nulo, considerando que f(t)=500 e^-t u(t) N; e

Passo 1

Beleza, então a gente tem um trenó de massa v(t)=1mintegral-infty^t f(tau),dtau kg sendo empurrado sem atrito. A entrada do nosso sistema é a força vns(t)=1mintegral0^t f(tau),dtau e a saída é a velocidade . A equação geral é
Mas como a gente quer a resposta em estado nulo (ou seja, zerando as condições iniciais, ), ela vira
O que vamos precisar aqui é só aplicar essa fórmula usando e .

Passo 2

Resposta em estado nulo significa que a gente considera a velocidade inicial vns(t)=1mintegral0^t f(tau),dtau e calcula o efeito só da força de entrada. A teoria manda usar
É basicamente integrar a força ao longo do tempo e dividir pela massa.

Passo 3

Agora troca na fórmula:
vns(t) = 1100integral0^t 500e^-tauu(tau),dtau
Como para , dá pra tirar isso da integral.

Passo 4

Calculemos a integral:
integral0^t 500e^-tau,dtau =500l[-e^-taur]0^t =500l(1 - e^-tr)
Dividindo por 100, fica
vns(t)=500100l(1 - e^-tr) =5l(1 - e^-tr)

Resposta

boxedvns(t)=5l(1 - e^-tr),u(t)

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