Determine se cada um dos sistemas a seguir é:
I. linear ou não linear;
II. invariante no tempo ou variante no tempo;
III. instantâneo (sem memória) ou dinâmico (com memória);
IV. causal ou não causal.
a) y(t)=x(t-2)+x(2-t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é de “sinais e sistemas” e pede pra gente checar quatro propriedades do sistema
y(t)=x(t-2)+x(2-t),
As propriedades são:
I. linearidade,
II. invariância no tempo,
III. memória (instantâneo ou dinâmico) e
IV. causalidade.
Pra resolver, a gente vai lembrar das definições: como testar linearidade, como ver se é variante ou não no tempo, o que significa ter memória e ser causal.

Passo 2

Teste de linearidade
– Um sistema é linear se, para qualquer combinação Ta,x1 + b,x2(t) ;=; a,Tx1(t);+;b,Tx2(t) , a saída for a mesma combinação:
Ta,x1+b,x2(t) = (a,x1+b,x2)(t-2) + (a,x1+b,x2)(2-t)
Aqui,
;=; a,x1(t-2) + b,x2(t-2) ;+; a,x1(2-t) + b,x2(2-t)
;=; al[x1(t-2)+x1(2-t)r] ;+; bl[x2(t-2)+x2(2-t)r]
;=; a,Tx1(t) ;+; b,Tx2(t)
Logo, é linear.

Passo 3

Teste de invariância no tempo
– Um sistema é invariante no tempo se um atraso na entrada gera o mesmo atraso na saída.
Suponha Tx'(t) = x'(t-2) + x'(2-t) = x(t-t0-2) + x(2-t-t0) . A saída seria
y(t-t0) = xl((t-t0)-2r) + xl(2-(t-t0)r) = x(t-t0-2) + x(2-t+t0)
Mas se a gente atrasar a saída original em :
Repare que em geral. Então não bate: é variante no tempo.

Passo 4

Instantâneo (sem memória) ou dinâmico (com memória)
– Se a saída em depende só de , é instantâneo; se depende de valores de em outros instantes, tem memória.
Aqui aparece e , que são entradas em instantes diferentes de . Então o sistema guarda “memória” do sinal. É dinâmico.

Passo 5

Causalidade
– Um sistema é causal se depende apenas de para .
No termo , tudo bem. Mas em , o instante pode ser maior que (por exemplo, se , ). Aí o sistema “vê” o futuro de . Então é não causal.

Resposta

I. linear;
II. variante no tempo;
III. dinâmico (com memória);
IV. não causal.

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