Determine se cada um dos sistemas a seguir é BIBO estável ou BIBO instável:
e) y(t)=integral0^t x(tau / 3) d tau

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um sistema definido por
y(t)=integral0^t xl(tfractau3r),dtau
Queremos saber se ele é BIBO estável ou BIBO instável.
Conteúdo da matéria: definição de estabilidade BIBO e uso de desigualdades em integrais.
O que vamos precisar:
- Definição de BIBO estabilidade;
- Mudança de variável em integral;
- Propriedade de módulo e desigualdade de integral.

Passo 2

Definição de estabilidade BIBO:
Um sistema é BIBO estável se para toda entrada limitada, isto é, existe tal que , a saída também ficar limitada: existe tal que .
Se encontrarmos uma entrada limitada que gere saída sem limite, o sistema é BIBO instável.

Passo 3

Vamos reescrever a integral com mudança de variável:
Defina y(t) =integral0^t xl(tfractau3r),dtau =integral0^t/3 x(u),l(3,dur) =3integral0^t/3 x(u),du , então e .
Quando , ; quando , .
Assim:

Passo 4

Agora use a hipótese de entrada limitada: lvert y(t)rvert =3llvertintegral0^t/3 x(u),durrvert <= 3integral0^t/3lvert x(u)rvert,du <= 3integral0^t/3B,du =3Bcdot t3 =Bt .
Logo .

Passo 5

Repare que, mesmo com finito, cresce sem limite quando . Ou seja, a saída não fica limitada para todos os instantes. Isso viola a condição de estabilidade BIBO.

Resposta

O sistema é BIBO instável.

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